Θεώρημα του Rolle – Κατηγορία 35

x3 5x 2 Να δείξετε ότι η εξίσωση − = −4x − λ έχει το πολύ μία ρίζα στο διάστημα 3 2 (2 , 3) , για κάθε λ ∈ ! .

Να δείξετε ότι η εξίσωση 4x 3 + 18x + α = 21x 2 , α ∈ ! , δεν μπορεί να έχει δύο διαφο- ρετικές ρίζες στο διάστημα (1, 2) . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Να δείξετε ότι η εξίσωση x 2004 − 5x = −4 έχει το πολύ δύο ρίζες.

Να δείξετε ότι η εξίσωση 2συνx − 3x 2 + 5 = 0 έχει το πολύ δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 3 − 12x + α = 0 , α ∈ ! , έχει το πολύ μία ρίζα στο διάστημα (−2 , 2) .

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ! → ! τέτοια, ώστε να ισχύει f(x) + e f(x) = x 3 + x − 2011 , για κάθε x ∈ ! . Να αποδείξετε ότι η C f τέμνει τον άξονα x΄x σε ένα, το πολύ, σημείο.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αx 2 + βx + γ = e x , όπου α , β , γ ∈ ! , α ≠ 0 , έχει το πολύ τρεις πραγματικές ρίζες.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 8 = 7x + 6 δεν έχει περισσότερες από δύο διαφορετικές ρίζες στο ! .

Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο ! . Αν για την C f δεν υπάρχει σημείο στο οποίο φέρνοντας την εφαπτομένη αυτή να είναι κάθετη στην ευθεία ε : x + 2y − 1 = 0 , να δείξετε ότι η C f έχει με την ευθεία ε1 : y − 2x = 0 ένα, το πολύ, κοινό σημείο.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0 , + ∞) → ! , για την οποία ισχύει f 2 (x) + 4f(x) − 2x = e x − 3 , για κάθε x > 0 . Να αποδείξετε ότι η C f τέμνει τον άξονα x΄x σε ένα, το πολύ, σημείο.