Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) – Κατηγορία 41

Αν είναι 0 < α < β , να δείξετε ότι ισχύει 8(β − α)α 7 < β8 − α 8 < 8(β − α)β7 .

1 x +1 1 Nα δείξετε ότι ισχύει < ℓn < , για κάθε x > 0 . x +1 x x

Να αποδείξετε ότι, για κάθε α , β ∈ (0 , + ∞) , με α < β , ισχύει: β−α β−α α) < β− α < . β) ν(β − α)α ν−1 < βν − α ν < ν(β − α)βν−1 , ν ≥ 2 . 2 β 2 α

e π Να αποδείξετε ότι 2 − < ℓnπ < . π e

2 x +1 2 Να αποδείξετε ότι < ℓn < , x >1. x +1 x −1 x −1

Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο ! , με την f ′ γνησίως αύξουσα. Να αποδείξετε ότι f ′(x) < f(x + 1) − f(x) < f ′(x + 1) , x ∈ ! .