Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις

Λυμένο παράδειγμα 1 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Το Ε.Κ.Π. των παραστάσεων 2x − 6 , x − 3 θα βρεθεί ως εξής: ελέγχοντας ποια από τις δύο παραγοντοποιείται, βλέπω ότι αυτό γίνεται στην πρώτη ως εξής: 2x − 6 = 2(x − 3) . Επομένως έχω τις παραστάσεις 2(x − 3) , x − 3 , οπότε: • η πρώτη έχει τον αριθμό 2 ως συντελεστή ενώ η δεύτερη το 1, άρα το 2 μπαίνει στο ζητούμενο Ε.Κ.Π. (αφού το 2 είναι το Ε.Κ.Π. του 1 και του 2). • και οι δύο έχουν την παράσταση x − 3 , άρα αυτή μπαίνει στο ζητούμενο Ε.Κ.Π. Τελικά το ζητούμενο Ε.Κ.Π. είναι το 2(x − 3) , οπότε ο αριθμητής του ενός κλάσματος δεν πολλαπλασιάζεται με τίποτα, ενώ ο αριθμητής του άλλου πρέπει να πολλαπλασια- στεί με 2. Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -2 - Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος , καθηγητής Μαθηµατικών Η επανάληψη του Γυµνασίου • Πράξεις µε ρητές αλγεβρικές παραστάσεις

Λυμένο παράδειγμα 2 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Το Ε.Κ.Π. των παραστάσεων x 2 , x 2 + 1 θα βρεθεί ως εξής: ελέγχω αν κάποια από τις δύο παραγοντοποιείται και διαπιστώνω ότι καμία δεν πα- ραγοντοποιείται. Επομένως, το ζητούμενο Ε.Κ.Π είναι το γινόμενο αυτών, δηλαδή είναι το x 2 (x 2 + 1) , οπότε ο αριθμητής του ενός κλάσματος πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί x 2 + 1 , ενώ ο αριθμητής του άλλου επί x 2 . ΠΡΟΣΟΧΗ ! Το x 2 , που υπάρχει και στις δύο, δεν είναι κοινό και αυτό μπορεί να αιτιολογηθεί με δύο τρόπους: α) αφού καμία εκ των δύο δεν παραγοντοποιείται, δεν μπορώ να μιλάω για κοινό παράγοντα (παράγοντας = κομμάτι γινομένου). β) στην παράσταση x 2 + 1 , το x 2 είναι όρος αθροίσματος, άρα δεν μπορεί να «κοπεί» από το άθροισμα, ώστε να «μετρήσει» ως κοινό για το Ε.Κ.Π.

Λυμένο παράδειγμα 3 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Το Ε.Κ.Π. των παραστάσεων x 2 + 4x + 3 , x + 1 θα βρεθεί ως εξής: η πρώτη παράσταση είναι τριώνυμο, με διακρίνουσα 42 − 4 ⋅1 ⋅ 3 = 16 − 12 = 4 , που ση- μαίνει ότι παραγοντοποιείται. Βρίσκω τις ρίζες του (που είναι οι αριθμοί ­1, ­3), οπότε παραγοντοποιείται ως εξής: x 2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) . Επομένως έχω τις παραστάσεις (x + 1)(x + 3) , x + 1 = (x + 1) ⋅1 , οπότε: • η παράσταση x + 1 είναι κοινή μεταξύ τους, άρα μπαίνει στο ζητούμενο Ε.Κ.Π. • μεταξύ των παραστάσεων x + 3 , 1 δεν υπάρχει κάτι κοινό, οπότε στο ζητούμενο Ε.Κ.Π. μπαίνει το γινόμενό τους. Τελικά το ζητούμενο Ε.Κ.Π είναι το (x + 1)(x + 3) , οπότε ο αριθμητής του ενός κλά- σματος δεν πολλαπλασιάζεται με κάτι, ενώ του άλλου πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί x+3 . Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -3 -

Άσκηση επανάληψης – Κ1 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 5βx + 10αβ 5β (x + 2α) 5β 7α − 7β − 7γ 7 (α − β − γ) 7 1

Άσκηση επανάληψης – Κ2 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 35α − 35β − 35γ 35 (α − β − γ) 35 5 4x 2 − 25 (2x)2 − 52 (2x + 5) (2x − 5)

Άσκηση επανάληψης – Κ3 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2x + 5 2x + 5 2x + 5 α4 − x4 (α 2 )2 − (x 2 )2 (α 2 − x 2 ) (α 2 + x 2 ) α2 + x2

Άσκηση επανάληψης – Κ4 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: α 3x − αx 3 αx(α 2 − x 2 ) αx (α 2 − x 2 ) αx 16 − 25β2 42 − (5β)2 (4 + 5β) (4 − 5β) 4 + 5β

Άσκηση επανάληψης – Κ5 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 8α − 10αβ 2α(4 − 5β) 2α (4 − 5β) 2α x2 − 9 x 2 − 32 (x + 3) (x − 3) x −3

Άσκηση επανάληψης – Κ6 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 x + 6x + 9 2 x + 2⋅ x ⋅3 + 32 (x + 3) 2 x+3 α2 − 1 α 2 − 12 (α + 1) (α − 1) α +1

Άσκηση επανάληψης – Κ7 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 5α − 10α + 5 2 5(α − 2α + 1) 5(α − 1) 2 5(α − 1) ⎡(α + β) + (α − β)⎤ ⋅ ⎡(α + β) − (α − β)⎤ (α + β)2 − (α − β)2 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

Άσκηση επανάληψης – Κ8 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 α β − αβ 2 αβ(α − β) (α + β + α − β )( α + β − α + β) 2α ⋅2β 4 = = = . αβ(α − β) αβ (α − β) α−β Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -6 - Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος , καθηγητής Μαθηµατικών Η επανάληψη του Γυµνασίου • Πράξεις µε ρητές αλγεβρικές παραστάσεις α 3 + β3 (α + β) (α 2 − αβ + β2 ) α 2 − αβ + β2

Άσκηση επανάληψης – Κ9 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: α − β2 (α + β) (α − β) α−β x 3 + 2αx 2 + α 2x x(x 2 + 2αx + α 2 ) x(x + α) 2 x(x + α)

Άσκηση επανάληψης – Κ10 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 3αx − 3α 3 2 3α(x − α ) 2 3α (x + α) (x − α) 3α(x − α) α 2 + β2 − γ2 + 2αβ (α 2 + β2 + 2αβ) − γ2 (α + β)2 − γ2

Άσκηση επανάληψης – Κ11 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: α 2 + γ2 − β2 + 2αγ (α 2 + γ2 + 2αγ) − β2 (α + γ)2 − β2 (α + β + γ) (α + β − γ) α+β−γ = = . (α + γ + β) (α + γ − β) α−β+ γ 4x 2 − 8x + 4 4(x 2 − 2x + 1) 4(x − 1) 2 4(x − 1)

Άσκηση επανάληψης – Κ12 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 x −x x(x − 1) x (x − 1) x x8 − 1 (x 4 )2 − 12 (x 4 + 1) (x 4 − 1) x4 − 1 (x 2 )2 − 12

Άσκηση επανάληψης – Κ13 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: (x 4 + 1)(x 2 − 1) (x 4 + 1)(x 2 − 1) (x 4 + 1) (x 2 − 1) x2 − 1 x2 − 1 (x 2 + 1) (x 2 − 1) = = x2 + 1 . 2 x −1 αγ + βγ + αδ + βδ γ(α + β) + δ(α + β) (α + β) (γ + δ) γ+δ

Άσκηση επανάληψης – Κ14 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 α + αβ α(α + β) α (α + β) α 2 ⎡(α − β) − γ ⎤ (α − β)2 − 2(α − β)γ + γ2 ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ (α − β − γ)2

Άσκηση επανάληψης – Κ15 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: α 2 + β2 − γ2 − 2αβ (α + β2 − 2αβ) − γ2 (α − β)2 − γ2 (α − β − γ) 2 α−β−γ = = . (α − β + γ) (α − β − γ) α−β+ γ Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -7 - Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος , καθηγητής Μαθηµατικών Η επανάληψη του Γυµνασίου • Πράξεις µε ρητές αλγεβρικές παραστάσεις x 3 + 2x 2 − 9x − 18 x 2 (x + 2) − 9(x + 2) (x + 2)(x 2 − 9)

Άσκηση επανάληψης – Κ16 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x 3 + 3x 2 − 4x − 12 x 2 (x + 3) − 4(x + 3) (x + 3)(x 2 − 4) (x + 2) (x + 3) (x − 3) x −3 = = . (x + 3) (x + 2) (x − 2) x −2 3x 2 + 6x 3x(x + 2) 3x (x + 2) 3x

Άσκηση επανάληψης – Κ17 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 −x − 4x − 4 2 −(x + 4x + 4) −(x + 2) 2 x+2 7x 2 − 7xy 7x(x − y) 7x (x − y) 7x

Άσκηση επανάληψης – Κ18 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 2 5x y − 10y x + 5y 3 2 2 5y(x − 2xy + y ) 5y(x − y) 2 5y(x − y) 2 2 20x 3 − 20y3 20(x 3 − y3 ) 4(x − y) (x + xy + y ) 4(x − y)

Άσκηση επανάληψης – Κ19 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 15x + 15xy + 15y 2 2 15(x + xy + y ) 2 2 2 3 (x + xy + y ) 3 x 3 + x 2 − 9x − 9 x 2 (x + 1) − 9(x + 1) (x + 1) (x 2 − 9)

Άσκηση επανάληψης – Κ20 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: (x 3 − x)(x − 3) x(x 2 − 1)(x − 3) x (x + 1) (x − 1)(x − 3) x 2 − 32 (x + 3) (x − 3) x+3 = = = . x(x − 1)(x − 3) x(x − 1) (x − 3) x(x − 1) Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -8 -

Άσκηση επανάληψης – Π1 – σελ. 19 από «Τ5-Πράξεις με ρητές παραστάσεις». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⋅ 2 = ⋅ = = x2 . x −4 x − 2x (x − 2) (x + 2) x (x − 2) x x 2 + y2 + 2xy x 2 − 2xy + y2 (x + y) 2 (x − y)2 x+y