ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-Παράγραφος 1 (Θ)

Λυμένο παράδειγμα 1 από «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας πάρουμε την ευθεία 2x + y = 2 και ας δούμε πώς θα βρούμε τα σημεία τομής της με τους άξονες. 1ο βήμα Θέτω x = 0 στην εξίσωση της ευθείας και έχω 2⋅0+ y = 2 ⇔ y = 2. Άρα η ευθεία τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο A(0 , 2) . 2ο βήμα Θέτω y = 0 στην εξίσωση της ευθείας και έχω 2x + 0 = 2 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1 . Άρα η ευθεία τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο B(1, 0) . Αν ενώσω τα Α και Β και προεκτείνω το τμήμα ΑΒ και προς τα δύο άκρα του, θα έχω σχεδιάσει την ευθεία.

Λυμένο παράδειγμα 2 από «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Ας πάρουμε την ευθεία x + 2y = 1 . • Για να ελέγξω αν το σημείο A(1, 0) ανήκει στην ευθεία, θέτω x = 1 , y = 0 στην εξίσωσή της και έχω 1 + 2 ⋅ 0 = 1 ⇔ 1 = 1 , που ισχύει. Άρα το Α ανήκει στην ευθεία. • Για να ελέγξω αν το σημείο B(2 ,1) ανήκει στην ευθεία, θέτω x = 2 , y = 1 στην εξίσωσή της και έχω 2 + 2 ⋅1 = 1 ⇔ 4 = 1 , που δεν ισχύει. Άρα το Β δεν ανήκει στην ευθεία. γ) Αν θες να δείξεις ότι ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε θέσε στην εξίσωση της ευθείας στην θέση του x την τετμημένη του σημείου (δηλαδή το x του) και στην θέση του y την τεταγμένη του σημείου (δηλαδή το y του). Η σχέση που θα προκύψει θα εί- ναι και η σχέση που θα πρέπει να αποδείξεις ότι ισχύει στην άσκηση. - 10 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

⎧⎪ 2x + y = 1 ⎫⎪ ⎪ ⎪ Να λύσετε το σύστημα ⎨ ⎬. ⎪⎪ x − 2y = 0 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪

⎧⎪ 3x − y = 7 ⎫⎪ ⎪ ⎪ Να λύσετε το σύστημα ⎨ ⎬. ⎪⎪ −2x + y = 4 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪

⎧⎪ 2x − y = 3 ⎫⎪ ⎪ ⎪ Να λύσετε το σύστημα ⎨ ⎬. ⎪⎪ 5x + 2y = 6 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪

⎧⎪ 2x + y ⎫⎪ ⎪⎪ = 3 ⎪⎪ ⎪⎪ 4 ⎪⎪ Να λύσετε το σύστημα ⎨ ⎬. ⎪⎪ 3x − y ⎪ ⎪⎪ = 4 ⎪⎪ ⎪⎩ 2 ⎪⎪ ⎭

⎧⎪ x − 1 ⎫⎪ ⎪⎪ − y = 1 ⎪⎪ ⎪⎪ 4 ⎪⎪ Να λύσετε το σύστημα ⎨ ⎬. ⎪⎪ x y ⎪ ⎪⎪ + = −1 ⎪⎪ ⎪⎩ 6 4 ⎪⎪ ⎭

⎧⎪ 2x + y = 1 ⎫⎪ ⎪ ⎪ Να λύσετε το σύστημα ⎨ ⎬. ⎪⎪ x − 2y = 0 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪

⎧⎪ 3x − y = 7 ⎫⎪ ⎪ ⎪ Να λύσετε το σύστημα ⎨ ⎬. ⎪⎪ −2x + y = 4 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪

⎧⎪ 2x − y = 3 ⎫⎪ ⎪ ⎪ Να λύσετε το σύστημα ⎨ ⎬. ⎪⎪ 5x + 2y = 6 ⎪⎪ ⎩⎪ ⎭⎪

⎧⎪ 2x + y ⎫⎪ ⎪⎪ = 3 ⎪⎪ ⎪⎪ 4 ⎪⎪ Να λύσετε το σύστημα ⎨ ⎬. ⎪⎪ 3x − y ⎪ ⎪⎪ = 4 ⎪⎪ ⎪⎩ 2 ⎪⎪ ⎭

⎧⎪ x − 1 ⎫⎪ ⎪⎪ − y = 1 ⎪⎪ ⎪⎪ 4 ⎪⎪ Να λύσετε το σύστημα ⎨ ⎬. ⎪⎪ x y ⎪ ⎪⎪ + = −1 ⎪⎪ ⎪⎩ 6 4 ⎪⎪ ⎭

⎧⎪λx − y = λ − 1⎫⎪ Να λύσετε το σύστημα ⎪⎨ 2 ⎪⎬ , λ ∈ ! . ⎪⎪λ x − 2y = λ ⎪⎪ ⎩ ⎭

⎧⎪(λ − 1)x − 2y = 1 ⎫⎪ Να λύσετε το σύστημα ⎪⎨ ⎪⎬ , λ ∈ ! . ⎪⎪4x − (λ + 1)y = −2⎪⎪ ⎩ ⎭

⎧⎪ Να λύσετε το σύστημα ⎨ ( ⎪⎪ 3 − 1 x + 2y = −2 ⎪ ) ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎬ . ⎪⎩⎪ ( ⎪⎪ x + 3 + 1 y = −1 − 3 ⎪⎪ )⎪⎭⎪

⎧⎪λx + y = λ ⎫⎪ Να λύσετε το σύστημα ⎪⎨ ⎪⎬ για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθ- ⎪⎪x + λy = λ + 2⎪⎪ ⎩ ⎭ μού λ.

⎧⎪(λ + 1)x − y = λ + 1⎫⎪ Να λύσετε το σύστημα ⎪⎨ ⎪⎬ για τις διάφορες τιμές του πραγματικού ⎪⎪x + (λ − 1)y = 2 ⎪⎪ ⎩ ⎭ αριθμού λ.

Λυμένο παράδειγμα 18 από «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ-Παράγραφος 1 (Θ)». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎧⎪3x − 2y − z = 11 ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ Να λύσετε το σύστημα ⎪⎨2x − 5y − 2z = 3 ⎪⎬ . ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩⎪5x + y − 2z = 33⎪⎪⎭⎪ Πρώτη λύση - Με την µέθοδο της αντικατάστασης Από την πρώτη εξίσωση έχω z = 3x − 2y − 11 (1) Αντικαθιστώ την (1) στην δεύτερη εξίσωση και έχω 2x − 5y − 2(3x − 2y − 11) = 3 ⇔ 2x − 5y − 6x + 4y + 22 = 3 ⇔ 4x + y = 19 (2) Αντικαθιστώ την (1) στην τρίτη εξίσωση και έχω 5x + y − 2(3x − 2y − 11) = 33 ⇔ 5x + y − 6x + 4y + 22 = 33 ⇔ − x + 5y = 11 (3) Από τις (2) και (3), έχω ⎧⎪4x + y = 19 ⎫⎪ ⎧⎪4x + y = 19 ⎫⎪ ⎪⎨ ⎪⎬ ⇔ ⎪⎨ ⎪⎬ . ⎪⎪−x + 5y = 11⎪⎪ ⋅4 ⎪⎪−4x + 20y = 44⎪⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Προσθέτω κατά μέλη τις εξισώσεις αυτές και έχω 21y = 63 ⇔ y = 3 . Για y = 3 , από την (2) έχω 4x + 3 = 19 ⇔ 4x = 16 ⇔ x = 4 . - 32 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κε ί ου • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Σ υστήμ α τα Παράγραφος 1 • Γραµµικά συστήµατα • ΘΕΩΡΙΑ Για x = 4 , y = 3 από την (1) έχω z = 3 ⋅ 4 − 2 ⋅ 3 − 11 = 12 − 6 − 11 ⇔ z = −5 . Τελικά, η λύση του συστήματος είναι (x , y , z) = (4 , 3 ,− 5) . Δεύτερη λύση - Με την µέθοδο των αντίθετων συντελεστών ⎧⎪3x − 2y − z = 11 (1) ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ Έστω ⎨2x − 5y − 2z = 3 (2) ⎪⎬ . ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩⎪5x + y − 2z = 33 (3)⎪⎪⎭⎪ 1ο βήμα Πολλαπλασιάζω την (1) επί 2 και έχω 6x − 4y − 2z = 22 . Πολλαπλασιάζω την (2) επί −1 και έχω −2x + 5y + 2z = −3 . Προσθέτω κατά μέλη τις δύο αυτές εξισώσεις και έχω 4x + y = 19 (4) 2ο βήμα Προσθέτω την εξίσωση −2x + 5y + 2z = −3 κατά μέλη με την (3) και έχω :3 3x + 6y = 30 ⇔ x + 2y = 10 (5) Από το σύστημα των (4) και (5), έχω ⎧⎪4x + y = 19⎫⎪ ⋅(−2) ⎧⎪−8x − 2y = −38⎫⎪ ⎪⎨ ⎪⎬ ⇔ ⎪⎨ ⎪⎬ . ⎪⎪x + 2y = 10⎪⎪ ⎪⎪x + 2y = 10 ⎪⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Προσθέτω κατά μέλη και έχω −7x = −28 ⇔ x = 4 . Για x = 4 , από την (5) έχω 4 + 2y = 10 ⇔ 2y = 6 ⇔ y = 3 . Για x = 4 , y = 3 από την (1) έχω 3 ⋅ 4 − 2 ⋅ 3 − z = 11 ⇔ z = 12 − 6 − 11 ⇔ z = −5 . Τελικά, η λύση του συστήματος είναι

⎧⎪ 2x + y + z = 1 ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ Να λύσετε το σύστημα ⎨ 3x + y + 2z = 2 ⎪⎬ . ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ 4x − y + 3z = 1 ⎪⎪⎪ ⎩ ⎭

⎧⎪ 2x − y + z = −2 ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ Να λύσετε το σύστημα ⎨ x + 2y − z = 0 ⎪⎬ . ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ x − 3y + 2z = −2 ⎪⎪⎪ ⎩ ⎭