ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Εισαγωγικό κεφάλαιο

Λυμένο παράδειγμα 1 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Εισαγωγικό κεφάλαιο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν δύο αριθμοί α και β είναι ίσοι, τότε και τα τετράγωνά τους είναι ίσα. Γράφουμε: α = β ⇒ α 2 = β2 .

Λυμένο παράδειγμα 2 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Εισαγωγικό κεφάλαιο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν διαιρέσουμε τα μέλη μιας ανισότητας με θετικό αριθμό, τότε δεν αλλάζει η φορά της ανισότητας. Με απλούστερα λόγια επομένως, συνεπαγωγή είναι κάθε πρόταση που διατυπώνεται υπό την μορφή: • «Αν... , τότε... » ή • «Όταν... , τότε... » ή • «Ισχύει... , όταν... ». -2 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 3 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Εισαγωγικό κεφάλαιο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Στα μέλη μιας ισότητας μπορούμε να προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό. Γράφουμε: α = β ⇒ α + γ = β + γ . Αυτό ισχύει και αντίστροφα όμως, δηλαδή από τα μέλη μιας ισότητας μπορούμε να αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό. Γράφουμε: α + γ = β + γ ⇒ α = β . Συνοπτικά επομένως, γράφουμε: α = β ⇔ α + γ = β + γ .

Λυμένο παράδειγμα 4 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Εισαγωγικό κεφάλαιο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Τα μέλη μιας ανισότητας μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε με τον ίδιο θετικό αριθμό και η φορά της ανισότητας δεν αλλάζει. Γράφουμε: Αν α < β και γ > 0 , τότε α ⋅ γ < β ⋅ γ . Αυτό ισχύει και αντίστροφα όμως, δηλαδή τα μέλη μιας ανισότητας μπορούμε να τα διαιρέσουμε με τον ίδιο θετικό αριθμό και η φορά της ανισότητας δεν αλλάζει. -3 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Εισαγωγικό κεφάλαιο • ΘΕΩΡΙΑ Γράφουμε: Αν α ⋅ γ < β ⋅ γ και γ > 0 , τότε α < β . Συνοπτικά επομένως, γράφουμε: α < β ⇔ α ⋅ γ < β ⋅ γ , όπου γ > 0 . Με απλούστερα λόγια δηλαδή, ισοδυναμία είναι κάθε πρόταση που διατυπώνεται υπό την μορφή • «Αν ισχύει... , τότε προκύπτει... και αντίστροφα» ή • «Ισχύει... , αν και μόνο αν ισχύει... ». Σχόλιο Σε προτάσεις που έχουν τέτοιας μορφής διατύπωση πολλές φορές μιλάμε για το «ευθύ» και το «αντίστροφο» της πρότασης, αν και αυτό είναι σχετικό, εξαρτάται δη- λαδή ποιο μέρος της πρότασης διατυπώνεται στην αρχή της (αυτό εκλαμβάνεται ως «ευθύ») και ποιο στο τέλος της (αυτό εκλαμβάνεται ως «αντίστροφο»). Με λίγα λόγια δηλαδή, το «ευθύ» και το «αντίστροφο» μπορούμε να πούμε ότι είναι υποκειμενικά.

Λυμένο παράδειγμα 5 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Εισαγωγικό κεφάλαιο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Το γινόμενο δύο αριθμών είναι ίσο με το μηδέν, αν και μόνο αν ένας, τουλάχιστον, από τους αριθμούς αυτούς είναι ίσος με το μηδέν. Γράφουμε: α ⋅ β = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0 . -4 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Εισαγωγικό κεφάλαιο • ΘΕΩΡΙΑ Αναλύοντας περισσότερο την πρόταση του παραδείγματος 5: • αν το γινόμενο δύο αριθμών είναι ίσο με το μηδέν, τότε ο πρώτος αριθμός είναι ίσος με το μηδέν ή ο δεύτερος αριθμός είναι ίσος με το μηδέν (είναι το «ευθύ» του σχο- λίου που αναφέρθηκε στην προηγούμενη σελίδα). • αν ένας εκ δύο αριθμών είναι ίσος με το μηδέν, τότε και το γινόμενό τους θα είναι ίσο με το μηδέν (είναι το «αντίστροφο» του σχολίου που αναφέρθηκε στην προ- ηγούμενη σελίδα). Το παράδειγμα 5 είναι μία από τις χαρακτηριστικότερες προτάσεις διάζευξης, προτά- σεις δηλαδή που στηρίζονται στο «ή».

Λυμένο παράδειγμα 6 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Εισαγωγικό κεφάλαιο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Το γινόμενο δύο αριθμών είναι διάφορο του μηδενός, αν και μόνο αν και οι δύο αριθ- μοί είναι διάφοροι του μηδενός. Γράφουμε: α ⋅ β ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 και β ≠ 0 . Αναλύοντας περισσότερο την πρόταση του παραδείγματος 6: • αν το γινόμενο δύο αριθμών είναι δεν ίσο με το μηδέν, τότε ο πρώτος αριθμός δεν είναι ίσος με το μηδέν, αλλά ούτε και ο δεύτερος αριθμός είναι ίσος με το μηδέν (είναι το «ευθύ» του σχολίου που αναφέρθηκε της σελίδας 4). • αν δύο αριθμοί δεν είναι ίσοι με το μηδέν, τότε και το γινόμενό τους δεν είναι ίσο με το μηδέν (είναι το «αντίστροφο» του σχολίου που αναφέρθηκε της σελίδας 4). -5 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Εισαγωγικό κεφάλαιο • ΘΕΩΡΙΑ Το παράδειγμα 6 είναι μία από τις χαρακτηριστικότερες προτάσεις σύζευξης, προτά- σεις δηλαδή που στηρίζονται στο «και». Όσα αναφέρθηκαν στις προηγούμενες σελίδες αποτελούν βασικότατα στοιχεία του λε- ξιλογίου της θεωρίας των Μαθηματικών (ήδη είδες τις έννοιες που προαναφέρθηκαν σε αρκετά σημεία στην θεωρία στα Μαθηματικά του Γυμνασίου). Όχι μόνο δεν αλλάζει αυτό στο Λύκειο, αλλά αποκτά ακόμη μεγαλύτερη σημασία. -6 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 7 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Εισαγωγικό κεφάλαιο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: • Ο αριθμός 5 είναι φυσικός, οπότε γράφουμε 5 ∈ ! . 3 3 • Ο αριθμός δεν είναι φυσικός, οπότε γράφουμε ∉!. 4 4 • Ο αριθμός ­4 είναι ακέραιος, οπότε γράφουμε −4 ∈ ! . 1 1 • Ο αριθμός − δεν είναι ακέραιος, οπότε γράφουμε − ∉!. 2 2 4 4 • Ο αριθμός είναι ρητός, οπότε γράφουμε ∈ !. 5 5 2 2 • Ο αριθμός δεν είναι ρητός, οπότε γράφουμε ∉!. 2 2 Όλοι οι αριθμοί του παραδείγματος 7 όμως, είναι πραγματικοί αριθμοί. Παράσταση συνόλου Για να παραστήσουμε (όπως λέμε) ένα σύνολο, χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους ακόλουθους τρόπους: Πρώτος τρόπος ­ Με αναγραφή των στοιχείων του α) Όταν δίνονται όλα τα στοιχεία του συνόλου και είναι λίγα σε πλήθος, τότε γράφου- με τα στοιχεία αυτά μεταξύ δύο αγκίστρων, χωρίζοντάς τα με κόμμα.

Λυμένο παράδειγμα 8 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Εισαγωγικό κεφάλαιο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Aν ένα σύνολο Α έχει τους περιττούς αριθμούς από το 1 έως το 10, τότε γράφουμε Α = {1, 3 , 5, 7 , 9} . -9 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 9 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Εισαγωγικό κεφάλαιο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν ένα σύνολο Β έχει τους φυσικούς αριθμούς από το 1 έως το 1000, τότε γράφουμε Β = {1, 2 , 3 ,...,1000} . 1 Επίσης, αν ένα σύνολο Γ περιλαμβάνει κλάσματα της μορφής , όπου ν ∈ ! , ν ≠ 0 , ν τότε γράφουμε ⎧⎪ 1 1 1 ⎫⎪ Γ = ⎪⎨1, , , ,...⎪⎬ . ⎪⎩⎪ 2 3 4 ⎪⎭⎪ Δεύτερος τρόπος ­ Με περιγραφή των στοιχείων του Ο πρώτος τρόπος παράστασης ενός συνόλου δεν επαρκεί στις περισσότερες περιπτώ- σεις όμως. Για παράδειγμα, δεν επαρκεί για να παραστήσουμε το σύνολο των θετικών πραγματι- κών αριθμών ή το σύνολο των ρητών αριθμών. Έτσι, αν από ένα σύνολο Ω επιλέγουμε εκείνα τα στοιχεία του που έχουν μια ορισμένη ιδιότητα Ι, τότε το σύνολο αυτό το συμβολίζουμε {x ∈ Ω / x εχει την ιδιοτητα Ι} και διαβάζουμε «Το σύνολο των x ∈ Ω , όπου x έχει την ιδιότητα Ι».

Λυμένο παράδειγμα 10 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Εισαγωγικό κεφάλαιο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών, για το οποίο μίλησα παραπάνω, θα το παραστήσουμε έτσι: A = {x ∈ ! / x > 0} .

Λυμένο παράδειγμα 11 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Εισαγωγικό κεφάλαιο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Το σύνολο των άρτιων ακέραιων θα το παραστήσουμε έτσι: B = {x ∈ ! / x = 2κ , κ ∈ !} . - 10 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Λυμένο παράδειγμα 12 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Εισαγωγικό κεφάλαιο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν Ω = {1, 2 , 3 ,...,10} είναι ένα βασικό σύνολο και Α = {1, 2 , 3 , 4} , Β = {3 , 4 , 5, 6} δύο υποσύνολά του, τότε η ένωση των Α και Β είναι το σύνολο Α ∪ Β = {1, 2 , 3 , 4 , 5, 6} . β) Τομή συνόλων Τομή δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχεί- ων του Ω που ανήκουν και στα δύο σύνολα Α, Β και συμβολίζεται με Α ∩ Β . Δηλαδή είναι Α ∩ Β = {x ∈ Ω / x ∈ Α και x ∈ Β} . - 13 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Εισαγωγικό κεφάλαιο • ΘΕΩΡΙΑ

Λυμένο παράδειγμα 13 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Εισαγωγικό κεφάλαιο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν Ω = {1, 2 , 3 ,...,10} είναι ένα βασικό σύνολο και Α = {1, 2 , 3 , 4} , Β = {3 , 4 , 5, 6} δύο υποσύνολά του, τότε η τομή των Α και Β είναι το σύνολο Α ∩ Β = {3 , 4} . Στην περίπτωση που δύο σύνολα Α και Β δεν έχουν κοινά στοιχεία, δηλαδή όταν είναι Α ∩ Β = ∅ , τότε τα δύο σύνολα λέγονται ξένα μεταξύ τους. γ) Συμπλήρωμα συνόλου Συμπλήρωμα ενός υποσυνόλου Α ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται με Α′ . Δηλαδή είναι Α′ = {x ∈ Ω / x ∉ Α} .

Λυμένο παράδειγμα 14 από «ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-Εισαγωγικό κεφάλαιο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Αν Ω = {1, 2 , 3 ,...,10} είναι ένα βασικό σύνολο και Α = {1, 2 , 3 , 4} ένα υποσύνολό του, τότε το συμπλήρωμα του Α είναι το σύνολο Α′ = {5, 6 , 7 , 8 , 9 ,10} . - 14 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr