Μονοτονία (και ακρότατα) συνάρτησης – Κατηγορία 46

Λυμένο παράδειγμα 105 από «Μονοτονία (και ακρότατα) συνάρτησης – Κατηγορία 46». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Η συνάρτηση f(x) = x 3 είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο Df = ! , ως πολυωνυμική, με f ′(x) = 3x 2 > 0 , για κάθε x ≠ 0 , δηλαδή η f ′ είναι θετική σε όλο το ! , εκτός το 0 (ένα μόνο σημείο του). Επειδή, όμως, στο 0 είναι συνεχής, το συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ! . Επίσης, η f δεν έχει ακρότατα.

Λυμένο παράδειγμα 106 από «Μονοτονία (και ακρότατα) συνάρτησης – Κατηγορία 46». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 3 Η συνάρτηση f(x) = e−x είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο Df = ! , ως σύνθεση συνεχών και παραγωγίσιμων, αντίστοιχα, συναρτήσεων, με 3 3 f ′(x) = −e x ⋅ (x 3 )′ = −3x 2e x < 0 , για κάθε x ≠ 0 , - 785 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 2 • Δ ι α φ ορ ι κός Λ ογ ι σμ ός 10η ΕΝΟΤΗΤΑ. Μονοτονία (και ακρότατα) συνάρτησης 3 (αφού είναι −3x 2 < 0 , για κάθε x ≠ 0 , και e x > 0 , για κάθε x ∈ ! ), δηλαδή η f ′ είναι αρνητική σε όλο το ! , εκτός από το 0 (ένα μόνο σημείο του δηλαδή). Επειδή η f είναι συνεχής στο 0, το συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι η f είναι γνη- σίως φθίνουσα στο ! . Επίσης, η f δεν έχει ακρότατα.

Να βρείτε την μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = 4x − x 2 . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Να βρείτε την μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = 2x 3 − 6x 2 − 18x . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

x Να βρείτε την μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = . x −1 Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

x Να βρείτε την μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = . 2 x +1 Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

ℓnx Να βρείτε την μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = . x Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

x2 Να βρείτε την μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = . ex Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

e x + e−x Να βρείτε την μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = ℓn . 2 Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Να βρείτε την μονοτονία της συνάρτησης ⎧⎪ 3 ⎪ x − 3x , αν x < 0 f(x) = ⎪⎨ 2 . ⎪⎪ x − 6x , αν x ≥ 0 ⎩⎪

477. f(x) = x 2 − x + 1 .

478. f(x) = .

479. f(x) = x 2 (x 2 − 1) .

480. f(x) = 2

481. f(x) = −x 2 − 4x + 1 .

482. f(x) = x 3 − 2x 2 + x .

483. f(x) = x 3 − 6x 2 + 9x − 3 (και τα ακρότατα).

484. f(x) = x 3 − 3x 2 (και τα ακρότατα).

485. f(x) = (και τα ακρότατα).

486. f(x) = 2x 3 − 3x 2 − 12x .

487. f(x) = ⎨ . Πρόσεξέ την πάρα πολύ!

488. f(x) = .

489. f(x) = (και τα ακρότατα).

490. f(x) = x ℓnx .