Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 14

Λυμένο παράδειγμα 41 από «Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 14». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: −∞ 1 1 0⋅(−∞) ℓnx +∞ (ℓnx)′ 4 x = − 1 ⋅ ℓ im x = x→ 0 ( ℓ = ℓ im+ x 3ℓnx ) = ℓ im+ x→ 0 1 = ℓ im+ −3 = ℓ im+ x −4 = ℓ im+ x→ 0 (x )′ x→ 0 −3x x→ 0 3 3 x→ 0+ x − 4 x3 x 1 1 =− ⋅ ℓ im+ x 3 = − ⋅ 03 = 0 . 3 x→ 0 3 Σχόλιο Αν είχα αντιστρέψει το ℓnx , θα είχα πολύ πιο δύσκολες πράξεις.

Λυμένο παράδειγμα 42 από «Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 14». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎛ 1 ⎞⎟ Για το ℓ = ℓ im ⎜⎜⎜xe x ⎟⎟ διακρίνω τις εξής περιπτώσεις: x→ 0 ⎜ ⎝ ⎟⎟⎠ 1 + 1 α) όταν x → 0 , τότε ℓ im+ = +∞ , οπότε ℓ im+ e = +∞ , άρα ℓ = 0 ⋅ (+∞) , συνεπώς x x→ 0 x x→ 0 ⎛ 1 ⎞⎟′ 1 ⎛ ⎞′ 1 ⎜⎜e x ⎟ x ⎜ ⎟ 1 ⎜⎜ ⎟⎟⎟ e ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + e x ⎝ ⎠ ⎝ x ⎟⎠ 1 ℓ = ℓ im+ = ℓ im+ = ℓ im+ = ℓ im+ e = +∞ . x x→ 0 1 x→ 0 ⎛ 1 ⎞⎟′ x→ 0 ⎛ ⎞′ x→ 0 ⎜⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ x ⎜⎝ x ⎟⎟⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ x ⎟⎠ 1 − 1 β) όταν x → 0 , τότε ℓ im = −∞ , οπότε ℓ im e = 0 , άρα ℓ− = 0 ⋅ 0 = 0 . x x→ 0− x x→ 0− Αφού είναι ℓ+ ≠ ℓ− , το ℓ δεν υπάρχει. Δεύτερος τρόπος (προτεινόμενος) 1 1 Στο ℓ θέτω = y . Τότε είναι x = και διακρίνω τις εξής περιπτώσεις: x y 1 α) όταν x → 0+ , τότε y → +∞ , διότι ℓ im = +∞ , και θα είναι x→ 0+ x +∞ ⎛1 ⎞ e y +∞ (e y )′ ey ℓ+ = ℓ im ⎜⎜⎜ ⋅ e y ⎟⎟⎟ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = ℓ im e y = +∞ . y→ +∞ y ⎝ ⎟ ⎠ y→ +∞ y y→ +∞ (y )′ y→ +∞ 1 y→ +∞ - 204 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 2 • Δ ι α φ ορ ι κός Λ ογ ι σμ ός 3η ΕΝΟΤΗΤΑ. Κανόνες του de l’ Hospital 1 β) όταν x → 0− , τότε y → −∞ , διότι ℓ im = −∞ , και θα είναι x→ 0− x ⎛1 ⎞ ℓ− = ℓ im ⎜⎜⎜ ⋅ e y ⎟⎟⎟ = 0 ⋅ 0 = 0 . y→−∞ y ⎝ ⎟⎠ Αφού είναι ℓ+ ≠ ℓ− , το ℓ δεν υπάρχει. - 205 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

181. ℓ = ℓ im+ x ℓnx

182. ℓ = ℓ im ⎢⎢ x ⎜⎜⎜e x − 1⎟⎟ ⎥⎥ .

183. ℓ = ℓ im+ ⎡⎢ ℓnx ⋅ ℓn(x + 1)⎤⎥ = ℓ im+ .

184. ℓ = ℓ im+ (εϕx ⋅ ℓnx) = ℓ im+ ⎜⎜⎜ ⋅ ℓnx⎟⎟⎟ ⇒ ℓ = ℓ im+ ⎜⎜⎜ ⋅ ηµx ⋅ ℓnx⎟⎟⎟ .

185. ℓ = ℓ im ⎢ x ⋅ ℓn ⎜⎜1 + ⎟ ⎥ = ℓ im .

186. ℓ = ℓ im xe−x

187. ℓ = ℓ im x 3e x

188. ℓ = ℓ im (x ℓnx) .

189. ℓ = ℓ im x 3ℓn2x

190. ℓ = ℓ im ⎡⎢(e x − 1) ⋅ ℓnx ⎤⎥ .