Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης – Κατηγορία 30

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = e x , g(x) = 4 − eα−x . Να βρείτε το α ∈ ! , ώστε οι C f , C g να έχουν κοινή εφαπτομένη σε κάποιο κοινό τους σημείο. Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = α ⋅ ℓnx + βx 2 , g(x) = x 2 + 2βx + α , με α ∈ ! * και β ∈ ! . Να βρείτε τις τιμές των α και β, ώστε οι C f , C g να έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο με τετμημένη x 0 = 1 .

Έστω συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο ! , με f(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ! , και g(x) = f(x) ⋅ ηµ(αx) , α ≠ 0 . Αν Α(x 0 , y 0 ) κοινό σημείο των C f , C g , να δείξετε ότι οι C f , C g δέχονται κοινή εφαπτομένη στο Α.

Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων x2 x2 + x − 1 f(x) = και g(x) = 2 2x έχουν κοινή εφαπτομένη σε ένα σημείο, ενώ οι εφαπτομένες σε ένα άλλο σημείο είναι μεταξύ τους κάθετες.

Δίνονται οι συναρτήσεις 1 f(x) = αx 2 − βx + 9 , g(x) = . x −1 Να βρείτε τα α , β ∈ ! , ώστε οι C f , C g να δέχονται κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο με τετμημένη 2.

Δίνονται οι συναρτήσεις −3x 2 + 2x − 4 f(x) = , g(x) = 2x 2 − αx + β . x Να βρείτε τα α , β ∈ ! , ώστε οι C f , C g να διέρχονται από το ίδιο σημείο, στο οποίο δέχονται κοινή εφαπτομένη με συντελεστή διεύθυνσης −2 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Για τις συναρτήσεις f, g, φ ισχύουν: • η f είναι παραγωγίσιμη στο ! , με f(x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ ! . • η φ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ! . • g(x) = f(x) ⋅ ϕ′(x) , για κάθε x ∈ ! . 2 • ϕ2 (x) + ⎡⎢ϕ′(x)⎤⎥ = 1 , για κάθε x ∈ ! . ⎣ ⎦ Αν Α (x 0 , y 0 ) είναι κοινό σημείο των C f , C g , να αποδειχθεί ότι οι C f , C g έχουν κοινή εφαπτομένη.

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x 2 − αx , g(x) = 3x 2 + x + β . Να βρείτε τα α , β ∈ ! , ώστε οι C f , C g να έχουν κοινή εφαπτομένη στο x 0 = 1 .