Ε5-Π3-εξώφυλλο

Αν είναι ℓ im ⎡⎢ f(x) − x ⎤⎥ = 3 , να βρείτε το ℓ im f(x) . x→1 ⎣ ⎦ x→1

x ⋅ f(x) − 1 Αν είναι ℓ im = 2 , να βρείτε το ℓ im f(x) . x→1 x2 − 1 x→1

f(x) − x x ⋅ f(x) − 4 Αν ισχύει ℓ im = 1 , να βρείτε τα: α. ℓ im f(x) . β. ℓ im . x→ 2 x −2 x→ 2 x→ 2 x −2

f(x) Αν είναι ℓ im = 5 , ℓ im ⎡⎢ g(x) ⋅ (x 2 − 4)⎤⎥ = 2 , βρείτε το ℓ im ⎡⎣⎢ f(x) ⋅ g(x)⎤⎦⎥ . x→ 2 x→ 2 ⎣ ⎦ x→ 2 x + 2 −2

f(x) Έστω f , g : ! → ! συναρτήσεις, για τις οποίες ισχύουν ℓ im = 2 και x→1 x −1 ⎡ ℓ im ⎢ x→1 ⎣ ( x − 1) ⋅ g(x) ⎤⎥⎦ = 1 . Να υπολογίσετε το ℓ im ⎡⎣⎢f(x) ⋅ g(x)⎤⎦⎥ . x→1

Να βρείτε τα όρια ℓ im f(x) , ℓ im g(x) , αν ισχύουν οι σχέσεις x→ 0 x→ 0 ℓ im ⎡⎢ f(x) + 2g(x) + 1⎤⎥ = 3 , ℓ im ⎡⎢ g(x) − f(x) + x ⎤⎥ = 2 . x→ 0 ⎣ ⎦ x→ 0 ⎣ ⎦

f(x) Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , με ℓ im = 2. x→ 0 x α. Να δειχθεί ότι ℓ im f(x) = 0 . x→ 0 2f(x) + ηµx β. Να βρεθεί (εφόσον υπάρχει) το όριο ℓ im . x→ 0 f(x) + x

Έστω οι συναρτήσεις f , g : ! → ! , με ℓ im ⎡⎢ x ⋅ f(x) + g(x)⎤⎥ = 2 και ℓ im ⎡⎢ f(x) − x ⋅ g(x)⎤⎥ = 4 . x→1 ⎣ ⎦ x→1 ⎣ ⎦ Να δειχθεί ότι υπάρχουν τα όρια ℓ im f(x) και ℓ im g(x) και να υπολογισθούν. x→1 x→1

Για τις συναρτήσεις f, g δίνεται ότι ℓ im ⎢ ⎡ x→ 0 ⎣ ( x + 1 − 1) ⋅ f(x) ⎤⎥⎦ = 4 και ℓ im x +g(x) x→ 0 4 −2 =1, σε μια περιοχή του x 0 = 0 . α. Να βρεθεί το ℓ im g(x) . β. Να βρεθεί το ℓ im ⎡⎢ f(x) ⋅ g(x)⎤⎥ . x→ 0 x→ 0 ⎣ ⎦

Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ! → ! . Αν ℓ im ⎡⎢−2f(x) + 3g(x)⎤⎥ = 2 και x→ 2 ⎣ ⎦ ℓ im ⎡⎢5f(x) − 7g(x)⎤⎥ = −4 , να βρείτε τα ℓ im f(x) , ℓ im g(x) . x→ 2 ⎣ ⎦ x→ 2 x→ 2

f(x) Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : ! → ! . Αν ℓ im = 3 και ℓ im ⎡⎢ g(x) ⋅ (x 3 − 8)⎤⎥ = 4 , x→ 2 x − 2 x→ 2 ⎣ ⎦ να βρείτε το ℓ im ⎡⎢ f(x) ⋅ g(x)⎤⎥ . x→ 2 ⎣ ⎦

f(x) Θεωρούμε τις συναρτήσεις f , g : ! → ! , με ℓ im = α ∈ " , ενώ ισχύει και x→ 0 x 4f 3 (x) + x ⋅ f 2 (x) − 2x 2f(x) = 3x 3 , για κάθε x ∈ ! . Να βρείτε το α και το ℓ im f(x) . x→ 0

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! f(x) + 5 Αν ℓ im = 0 , να αποδείξετε ότι ℓ im f(x) = −5 . x→1 f(x) − 2 x→1

g(x) Αν ℓ im ⎡⎢ f(x) ⋅ (x − 1)⎤⎥ = ℓ im = 3 , να βρεθεί το ℓ im ⎡⎢ f(x) ⋅ g(x)⎤⎥ . x→1 ⎣ ⎦ x→1 x→1 ⎣ ⎦ x −1

Να βρείτε τα ℓ im f(x) , ℓ im g(x) , αν ℓ im ⎡⎢ f(x) − g(x)⎤⎥ = 5 , ℓ im ⎡⎢2f(x) + g(x)⎤⎥ = 4 . x→1 x→1 x→1 ⎣ ⎦ x→1 ⎣ ⎦

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Η συνάρτηση f είναι άρτια στο ! , με ℓ im ⎡⎢ f(x) + 2x − 5⎤⎥ = 4 . Να βρείτε το ℓ im f(x) . x→−3 ⎣ ⎦ x→ 3

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! f(x) + x Αν για την συνάρτηση f : ! → ! είναι ℓ im = 2 , να βρείτε τα: x→1 x −1 f(x) + 1 f(x) + 1 f 2 (x) − f(x) − 2 α. ℓ im . β. ℓ im . γ. ℓ im . x→1 x −1 x→1 f (x) − x 2 2 x→1 f 2 (x) + 3 − 2

f(x) + 4 Αν ℓ im = 1 και, για κάθε x ∈ ! , ισχύει f(x) = f(1 − x) , να βρείτε το ℓ im f(x) . x→ 2 x −2 x→−1

f(x) − 2x f(x) − x − 3 Αν ℓ im 2 = 5 , να βρείτε τα ℓ im f(x) , ℓ im . x→ 3 x −9 x→ 3 x→ 3 x2 − 9

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνονται δύο συναρτήσεις f και g, με κοινό πεδίο ορισμού το ! , για τις οποίες ισχύουν g(x) ⋅ ηµ2x − x 2f(x) g(x) ⋅ ηµ2x + x 2f(x) ℓ im = 5 και ℓ im = −1 . x→ 0 x2 x→ 0 x2 Να βρείτε τα ℓ im f(x) , ℓ im g(x) . x→ 0 x→ 0

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! f(x) + 4 Αν ℓ im = 1 και, για κάθε x ∈ ! , ισχύει f(x) = f(1 − x) , να βρείτε το ℓ im f(x) . x→ 2 x −2 x→−1

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! f(x) − 1 Αν ℓ im = 4 και, για κάθε x ∈ ! , ισχύει f(x) = f(x − 3) , να βρείτε το ℓ im f(x) . x→ 2 x −2 x→−1

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται μία άρτια συνάρτηση f : ! → ! . Να βρείτε το όριο ⎡ 1 4 ⎤ ℓ im ⎢ f(x) + + 2 ⎥ , x→−2 ⎢ x + 2 x − 4 ⎥⎦ ⎣ αν ℓ im f(x) = 5 . x→ 2

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται μία περιττή συνάρτηση f : ! → ! . Να βρείτε το όριο ⎡ 1 6 ⎤ ℓ im ⎢ f(x) + + ⎥, x→ 3 ⎢ x − 3 2 ⎥ 9−x ⎦ ⎣ αν ℓ im f(x) = 1 . x→−3