Ε3(Θ)-εξώφυλλο

5 Αν ισχύει ότι ∫ f(x) dx = 4 , τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 4 ⎛ 5 3 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ Ι= 1 ⎝ ∫ ∫ ⎜⎜ x ⋅ f(t) dt ⎟⎟⎟ dx . ⎜⎜ 4 ⎟⎟ ⎠ Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.

⎛ 5 2 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = 0 ⎜ ∫ ∫ ⎜⎜ (4 − x − y) dy⎟⎟⎟ dx . ⎜ ⎝ 4 ⎟⎟ ⎠ Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.

3 3 8 Αν ∫ f(x) dx = 5 , ∫ f(x) dx = −2 , ∫ f(x) dx = −1 , να υπολογίσετε τα: 0 8 10 10 10 α) ∫ f(x) dx . β) ∫ f(x) dx . 3 0 Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα (−3 , + ∞) , να αποδείξετε ότι 3 0 1 ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx = 0 . 1 3 0 Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.

Λυμένο παράδειγμα 41 από «Ε3(Θ)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Για το ολοκλήρωμα β Ι= ∫ ⎡⎢⎣x ⋅ f′(x) + f(x)⎤⎥⎦ dx α έχουμε ότι β β ⎡ f(x) ⋅ x ⎤ ′ dx = ⎡ x f(x)⎤ = β ⋅ f(β) − α ⋅ f(α) , ∫ ∫ β Ι= ⎡ f ′(x) ⋅ x + f(x) ⋅ (x)′⎤ dx = ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ α α α δηλαδή το ολοκλήρωμα αντιμετωπίστηκε σαν «απλό» (αφού μέσα σε αυτό είχα έτοιμη παράγωγο).

Λυμένο παράδειγμα 42 από «Ε3(Θ)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Η μέθοδος ολοκλήρωσης κατά παράγοντες κρύβεται πίσω από το (φαινομενικά αθώο, αλλά ύπουλο κάποιες φορές), ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα ⎡⎢α , β⎤⎥ . ⎣ ⎦ β Θυμήσου το ∫ ℓnx dx , που έχει ένα «αόρατο» 1 μπροστά από το ℓnx : α β β β β β 1 ∫ ℓnx dx = ∫ 1 ⋅ ℓnx dx = ∫ (x)′ ⋅ ℓnx dx = ⎡⎣⎢x ℓnx⎤⎦⎥ − ∫ x ⋅ (ℓnx)′ dx = Α − ∫ x ⋅ x dx β α α α α α α β ∫ β = Α− 1dx = Α − 1 ⋅ (β − α) = ... , όπου Α = ⎡⎢ x ℓnx ⎤⎥ . ⎣ ⎦α α - 245 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει f(x) + f(−x) = x 2συνx , για κάθε x ∈ ! . π Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f(x) dx . −π Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.

e Αν Ι ν = ∫ ℓn x dx , ν ∈ " , να δείξετε ότι Ι = e − ν ⋅ Ι , για κάθε ν ≥ 2 . 1 ν * ν ν−1 Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x + x 3 , x ∈ ! . α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1­1 και να βρείτε το πεδίο ορισμού της f −1 . e+1 β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f (x) dx . 1 −1 Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : ! → ! . 4 α. Να βρείτε το ολοκλήρωμα ∫ x dx . 1 2 4 β. Να αποδείξετε ότι ∫ ⎡⎢⎣f (x) − 2x f(x)⎤⎥⎦ dx ≥ −21 . 1 2 Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.

Αν f : ! → ! είναι συνεχής συνάρτηση, να αποδείξετε ότι 3 3 ∫ f (x) dx ≥ ∫ 6f(x) dx − 18 . 1 2 1 Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 + 2x + 6 . α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. 1 2 1 2 β. Να αποδείξετε ότι 9 ≤ ∫−1 2 x + 2x + 6 dx ≤ 5 . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr.