Άσκηση ολοκληρωμάτων 133

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 133 από «Ε2(Θ5)+Κ6(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x + 3x dx . 2 2 Είναι 3 3 2 2 Ι= ∫2 2 x + 3x dx = ∫2 x(x + 3) dx . Είναι 2 α β = + , όπου α , β ∈ ! . x(x + 3) x x+3 Με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 2 = α(x + 3) + βx ⇔ αx + 3α + βx = 2 ⇔ (α + β)x + 3α = 2 , ⎧⎪ α + β = 0 ⎫⎪ οπότε ισχύουν ⎪⎨ ⎪⎬ , από όπου εύκολα προκύπτει α = 2 , β = − 2 . ⎪⎪ 3α = 2 ⎪⎪ 3 3 ⎩ ⎭ Άρα είναι ⎛2 2 ⎞⎟ ⎜⎜ 3 ⎟⎟ 3 3 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ 2 1 2 1 Ι= ∫ 2 ⎜ ⎜⎜ − ⎜ x 3 x + 3 ⎟⎟ ⎟⎟ dx = ⋅ 3 x ∫ dx − ⋅ 3 x+3 dx = ∫ ⎝⎜ ⎟⎠ 2 2 3 3 2 2 1 2 2 1 ∫ ∫ x + 3 d(x + 3) = 3 = ⋅ ⎡⎢ ℓnx ⎤⎥ − ⋅ ⋅ (x + 3)′ dx = ⋅ (ℓn3 − ℓn2) − ⋅ 3 ⎣ ⎦ 2 3 x+3 3 3 2 2 2 3 2 2 3 2 = ⋅ ℓn − ⋅ ⎡⎢ ℓn(3 + 3) − ℓn(2 + 3)⎤⎥ = ⋅ ℓn − ⋅ (ℓn6 − ℓn5) = 3 2 3 ⎣ ⎦ 3 2 3 3 2 3 2 6 2 ⎛ 3 6 ⎞ 2 2 5 = ⋅ ℓn − ⋅ ℓn = ⋅ ⎜⎜⎜ℓn − ℓn ⎟⎟⎟ = ⋅ ℓn 2 ⇒ Ι = ⋅ ℓn . 3 2 3 5 3 ⎝ 2 5 ⎟⎠ 3 6 3 4 5 - 205 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα −1 2x − 3

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα