Άσκηση ολοκληρωμάτων 132

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 132 από «Ε2(Θ5)+Κ6(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x + x − 2 dx . 3 2 Είναι 4 4 x +1 x +1 Ι= ∫3 2 x + x −2 dx = ∫3 (x − 1)(x + 2) dx . Και εδώ ισχύουν τα σχόλια που έγιναν στην άσκηση 131. Είναι x +1 α β = + , όπου α , β ∈ ! . (x − 1)(x + 2) x −1 x+2 Με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω x + 1 = α(x + 2) + β(x − 1) ⇔ x + 1 = αx + 2α + βx − β ⇔ (α + β)x + (2α − β) = x + 1 ⎧⎪ α + β = 1 ⎫⎪ οπότε ισχύουν ⎪⎨ ⎪ , από όπου εύκολα προκύπτει α = 2 , β = 1 . ⎬ ⎪⎪ 2α − β = 1 ⎪⎪ 3 3 ⎩ ⎭ Άρα είναι ⎛ 2 1 ⎞⎟ ⎜⎜ 4 ⎟⎟ 4 4 ⎜⎜ 3 ⎟ 2 1 1 1 Ι= ∫ 3 ⎜ ⎜⎜ ⎜ x −1 + 3 ⎟⎟ dx = ⋅ x + 2 ⎟⎟⎟ 3 x −1 dx + ⋅ 3 ∫ x+2 dx = ∫ ⎜⎝ ⎟⎠ 3 3 4 4 2 1 1 1 = ⋅ 3 ∫ 3 x −1 ⋅ (x − 1)′ dx + ⋅ 3 ∫3 x+2 ⋅ (x + 2)′ dx = 4 4 2 1 1 1 2 1 ∫ ∫ 4 4 = ⋅ d(x − 1) + ⋅ d(x + 2) = ⋅ ⎡⎢ ℓn(x − 1)⎤⎥ + ⋅ ⎡⎢ ℓn(x + 2)⎤⎥ = 3 x −1 3 x+2 3 ⎣ ⎦3 3 ⎣ ⎦3 3 3 2 ⎡ 1 = ⋅ ⎢ ℓn(4 − 1) − ℓn(3 − 1)⎤⎥ + ⋅ ⎡⎢ ℓn(4 + 2) − ℓn(3 + 2)⎤⎥ = 3 ⎣ ⎦ 3 ⎣ ⎦ 2 1 2 3 1 6 = ⋅ (ℓn3 − ℓn2) + ⋅ (ℓn6 − ℓn5) ⇒ Ι = ⋅ ℓn + ⋅ ℓn . 3 3 3 2 3 5 - 204 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ λ…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα