Άσκηση ολοκληρωμάτων 134

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 134 από «Ε2(Θ5)+Κ6(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x − 3x + 2 dx . 0 2 Είναι −1 −1 2x − 3 2x − 3 Ι= ∫0 2 x − 3x + 2 dx = ∫ 0 (x − 1)(x − 2) dx . Είναι 2x − 3 α β = + , όπου α , β ∈ ! . (x − 1)(x − 2) x −1 x −2 Με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 2x − 3 = α(x − 2) + β(x − 1) ⇔ 2x − 3 = αx − 2α + βx − β ⇔ ⇔ (α + β)x + (−2α − β) = 2x − 3 , ⎧⎪ α + β = 2 ⎫⎪ οπότε ισχύουν ⎪⎨ ⎪ , από όπου εύκολα προκύπτει α = 1 , β = 1 . ⎬ ⎪⎪ −2α − β = −3 ⎪⎪ ⎩ ⎭ Άρα είναι −1 −1 −1 ⎛ 1 1 ⎞⎟ 1 1 Ι= ∫ 0 ⎜⎜ ⎜⎝ x − 1 + ⎟⎟ dx = x − 2 ⎠⎟ ∫ 0 x −1 dx + ∫ x − 1 dx = 0 −1 −1 −1 −1 1 1 1 1 = ∫0 x −1 ⋅ (x − 1)′ dx + ∫0 x −2 ⋅ (x − 2)′ dx = ∫ 0 x −1 d(x − 1) + ∫0 x −2 d(x − 2) = −1 −1 = ⎡⎢ ℓn x − 1 ⎤⎥ + ⎡⎢ ℓn x − 2 ⎤⎥ = ℓn −1 − 1 − ℓn 0 − 1 + ℓn −1 − 2 − ℓn 0 − 2 = ⎣ ⎦0 ⎣ ⎦0 = ℓn2 + ℓn3 − ℓn2 ⇒ Ι = ℓn3 . - 206 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 0 2x + 1

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα