Άσκηση ολοκληρωμάτων 90

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 90 από «Ε2(Θ3)+Κ4(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ (x − 1) x + 1 dx . 0 Θέτω x + 1 = y . Τότε είναι x + 1 = y2 ⇔ x = y2 − 1 ⇔ dx = (y2 − 1)′dy ⇔ dx = 2ydy . Όταν x = 0 , τότε y = 0 + 1 = 1 . Όταν x = 3 , τότε y = 3 + 1 = 2 . Άρα είναι 2 2 2 2 ⎡ y5 2y3 ⎤⎥ Ι= 1 ∫ 2 (y − 1 − 1) ⋅ y ⋅ 2y dy = 2 ⋅ 1 ∫ 2 2 ∫ ⎢ y (y − 2) dy = 2 ⋅ (y − 2y ) dy = 2 ⋅ ⎢ − 1 ⎢ ⎣ 5 4 3 ⎥⎦⎥ 1 = 2 2 y5 2y3 = 2 ⋅ ⎡⎢ f(y)⎤⎥ ⇒ Ι = 2 ⋅ ⎡⎢ f(2) − f(1)⎤⎥ , όπου f(y) = − . ⎣ ⎦1 ⎣ ⎦ 5 3 25 2 ⋅ 23 32 16 96 − 80 16 • f(2) = − = − = = . 5 3 5 3 15 15 15 2 ⋅13 1 2 3 − 10 7 • f(1) = − = − = =− . 5 3 5 3 15 15 Άρα είναι ⎛ 16 −7 ⎞⎟ 23 46 Ι = 2 ⋅ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟ = 2 ⋅ ⇔ Ι= . ⎝ 15 15 ⎠⎟ 15 15 - 129 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 1

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα