Άσκηση ολοκληρωμάτων 91

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 91 από «Ε2(Θ3)+Κ4(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ 2 dx . 0 x Θέτω x = y . Τότε είναι x = y2 ⇔ dx = (y2 )′dy ⇔ dx = 2ydy . Όταν x = 0 , τότε y = 0 = 0 . Όταν x = 1 , τότε y = 1 = 1 . Άρα είναι 1 1 Ι= ∫ 2 ⋅ 2y dy = 2 ⋅ ∫ y ⋅ 2 dy ⇒ Ι = 2 ⋅ Ι 0 y 0 y 1 (1) Είναι ⎛ 2y ⎞⎟′ 1 1 1 1 ⎡ y ⎤ 2y ⎟⎟ ⋅ y dy = ⎢ 2 ⋅ y ⎥ − Ι1 = ∫0 y y ⋅ 2 dy = ∫0 ⎜⎜ ⎜⎜ ℓn2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎢ ℓn2 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ 0 ∫ 0 ℓn2 ⋅ (y)′ dy = 1 1 1 ⎡ 1 1 1 1 ⎡⎢ 2y ⎤⎥ = ℓn2 ⋅ ⎢ y ⋅ 2y ⎤⎥ − ⎣ ⎦ 0 ℓn2 ⋅ ∫ 0 y 2 dy = ℓn2 1 0 ⋅ (1 ⋅ 2 − 0 ⋅ 2 ) − ⋅ ℓn2 ⎢⎣⎢ ℓn2 ⎥⎦⎥ 0 = 2 1 1 2 1 2 1 2ℓn2 − 1 = − ⋅ ⎡2y ⎤⎥ = 2 ⎢⎣ − ⋅ (21 − 20 ) = − ⇒ Ι1 = . ℓn2 (ℓn2) ⎦0 ℓn2 (ℓn2)2 ℓn2 (ℓn2)2 (ℓn2)2 Άρα από την (1) έχω ότι 2ℓn2 − 1 4ℓn2 − 2 Ι = 2⋅ 2 ⇔ Ι= . (ℓn2) ℓn2 2 - 130 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα π2

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα