Άσκηση ολοκληρωμάτων 87

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 87 από «Ε2(Θ3)+Κ4(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x 1 + x dx . 3 Θέτω 1 + x = y . Τότε είναι 1 + x = y2 ⇔ x = y2 − 1 ⇔ dx = (y2 − 1)′dy ⇔ dx = 2ydy . Όταν x = 3 , τότε y = 1 + 3 = 2 . Όταν x = 8 , τότε y = 1 + 8 = 3 . Άρα είναι 3 3 3 3 ⎡ y5 y3 ⎤ Ι= 2 ∫ 2 (y − 1) ⋅ y ⋅ 2y dy = 2 ⋅ 2 ∫ ∫ y (y − 1) dy = 2 ⋅ (y − y ) dy = 2 ⋅ ⎢⎢ − ⎥⎥ = 2 2 2 ⎣⎢ 5 4 3 ⎦⎥ 2 2 3 y5 y3 = 2 ⋅ ⎡⎢ f(y)⎤⎥ ⇒ Ι = 2 ⋅ ⎡⎢ f(3) − f(2)⎤⎥ , όπου f(y) = − . ⎣ ⎦2 ⎣ ⎦ 5 3 35 33 243 27 243 243 − 45 198 • f(3) = − = − = −9 = = . 5 3 5 3 5 5 5 25 23 32 8 96 − 40 56 • f(2) = − = − = = . 5 3 5 3 15 15 Τελικά είναι ⎛ 198 56 ⎞⎟ 594 − 56 1076 Ι = 2 ⋅ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟ = 2 ⋅ ⇔ Ι= . ⎝ 5 15 ⎠⎟ 15 15 - 126 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 1 x

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα