Ε2-Π5-εξώφυλλο

Λυμένο παράδειγμα 84 από «Ε2-Π5-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x2 + x + 2 + x + 3 − 8 Το ℓ = ℓ im εύκολα προκύπτει ότι εμφανίζει απροσδιοριστία 0 x→1 x2 + x − x − 1 διά 0. Κατά την αντικατάσταση που έγινε (και η οποία οδήγησε στην διαπίστωση της απροσ- διοριστίας) καμία από τις παραστάσεις που είναι μέσα στα απόλυτα δεν μηδενίζεται, οπότε θα υπολογίσω το όριο κάθε παράστασης που είναι εντός απόλυτης τιμής και από το πρόσημο του ορίου θα απλοποιήσω την αντίστοιχη απόλυτη τιμή: • ℓ im(x 2 + x + 2) = 12 + 1 + 2 = 4 > 0 , άρα είναι x 2 + x + 2 > 0 , όταν x → 1 , συνεπώς x→1 x2 + x + 2 = x2 + x + 2 . • ℓ im(x + 3) = 1 + 3 = 4 > 0 , άρα είναι x + 3 > 0 , όταν x → 1 , συνεπώς x→1 x+3 = x+3. - 303 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0” • ℓ im(x 2 + x) = 12 + 1 = 2 > 0 , άρα είναι x 2 + x > 0 , όταν x → 1 , συνεπώς x→1 x2 + x = x2 + x . Άρα, x2 + x + 2 + x + 3 − 8 x 2 + 2x − 3 (x − 1) (x + 3) x+3 ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = ℓ im = 2 x + x − x −1 2 x −1 x→1 x + 1 x→1 x→1 x→1 (x − 1) (x + 1) 1+3 = = 2. 1+1 β) Αν το αποτέλεσμα αυτού του ορίου είναι αρνητικό, αυτό σημαίνει ότι η παράσταση που είναι μέσα στην απόλυτη τιμή είναι αρνητική, όταν x → x 0 , οπότε η αντίστοιχη απόλυτη τιμή φεύγει και μένει η αντίθετη παράσταση που είχε μέσα της. Υπενθυμίζεται από την Άλγεβρα ότι ισχύει x = −x , όταν είναι x < 0 , δηλαδή όταν η παράσταση που είναι μέσα στην απόλυτη τιμή είναι αρνητική, τότε η απόλυτη τιμή «φεύγει» και μένει η αντίθετη παράσταση.

Λυμένο παράδειγμα 85 από «Ε2-Π5-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x − 3 + x − 2 − 2x 2 − 1 Το ℓ = ℓ im εύκολα προκύπτει ότι εμφανίζει απροσδιοριστία 0 x→1 x 2 − 3x + 2 διά 0. Κατά την αντικατάσταση που έγινε (και η οποία οδήγησε στην διαπίστωση της απροσ- διοριστίας) καμία από τις παραστάσεις που είναι μέσα στα απόλυτα δεν μηδενίζεται, οπότε θα υπολογίσω το όριο κάθε παράστασης που είναι εντός απόλυτης τιμής και από το πρόσημο του ορίου θα απλοποιήσω την αντίστοιχη απόλυτη τιμή: • ℓ im(x − 3) = 1 − 3 = −2 < 0 , άρα είναι x − 3 < 0 , όταν x → 1 , συνεπώς x→1 x −3 = 3− x . • ℓ im(x − 2) = 1 − 2 = −1 < 0 , άρα είναι x − 2 < 0 , όταν x → 1 , συνεπώς x→1 x −2 = 2− x . Επομένως, 3 − x + 2 − x − 2x 2 − 1 −2x 2 − 2x + 4 x2 + x − 2 ℓ = ℓ im = ℓ im 2 = −2 ℓ im 2 = x→1 x 2 − 3x + 2 x→1 x − 3x + 2 x→1 x − 3x + 2 - 304 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0” (x − 1) (x + 2) x+2 1+2 = −2 ℓ im = −2 ℓ im = −2 ⋅ =6. x→1 (x − 1) (x − 2) x→1 x −2 1−2

Λυμένο παράδειγμα 86 από «Ε2-Π5-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x − 2 + x2 − 4 + x − 2 Το ℓ = ℓ im εύκολα προκύπτει ότι εμφανίζει απροσδιοριστία 0 x→ 2 x2 + x − 6 διά 0. Κατά την αντικατάσταση που έγινε (και η οποία οδήγησε στην διαπίστωση της απροσ- διοριστίας) οι παραστάσεις που είναι μέσα στα απόλυτα μηδενίζονται, οπότε τις από- λυτες τιμές θα τις απλοποιήσω με χρήση του ορισμού της απόλυτης τιμής. ⎧⎪ x − 2 , αν x − 2 > 0 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ x − 2 , αν x > 2 • x −2 = ⎨ =⎨ (αφού x → 2 , είναι x ≠ 2 ). ⎪⎪ 2 − x , αν x − 2 < 0 ⎪ ⎪ 2 − x , αν x < 2 ⎩⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎧⎪ 2 2 ⎪ ⎪ x 2 − 4 , αν x 2 − 4 > 0 ⎪⎪ x − 4 , αν x < −2 η x > 2 • x −4 = ⎨ = ⎨ . ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 4 − x 2 , αν x 2 − 4 < 0 ⎪ ⎪⎩⎪ 4 − x 2 , αν x ∈ (−2 , 2) Έτσι, διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις: α) όταν x < 2 , τότε είναι x − 2 = 2 − x , x 2 − 4 = 4 − x 2 , οπότε 2 − x + 4 − x2 + x − 2 −x 2 + 4 x2 − 4 ℓ− = ℓ im− = ℓ im = − ℓ im = x→ 2 x2 + x − 6 2 x→ 2− x + x − 6 2 x→ 2− x + x − 6 (x − 2) (x + 2) x+2 2+2 4 = −ℓ im− = −ℓ im− =− ⇒ ℓ− = − . x→ 2 (x − 2) (x + 3) x→ 2 x + 3 2+3 5 β) όταν x > 2 , τότε είναι x − 2 = x − 2 , x 2 − 4 = x 2 − 4 , οπότε x − 2 + x2 − 4 + x − 2 x 2 + 2x − 8 (x − 2) (x + 4) x+4 ℓ+ = ℓ im+ = ℓ im = ℓ im+ = ℓ im+ = x→ 2 x + 3 2 2 x→ 2 x + x −6 x→ 2+ x + x −6 x→ 2 (x − 2) (x + 3) - 305 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “0 διά 0” 2+4 6 = ⇒ ℓ+ = . 2+3 5 Αφού είναι ℓ− ≠ ℓ+ , το ℓ δεν υπάρχει. Σημαντικό σχόλιο! Αν το όριο του παραδείγματος 86 ήταν εξαρχής πλευρικό (για παράδειγμα, αν ήταν εξαρχής x → 2− ή x → 2+ ), τότε δεν διακρίνονται περιπτώσεις και δεν χρησιμοποι- είται ο ορισμός της απόλυτης τιμής για την απλοποίησή της, αφού το πλευρικό όριο παρέχει το πρόσημο κάθε παράστασης που είναι μέσα στις απόλυτες τιμές! Δηλαδή, εξαρχής θα κάναμε ό,τι φάνηκε στο

x − 2 − x2 ℓ = ℓ im . x→1 x2 − x

5 − 3x − 3x − 1 ℓ = ℓ im . x→1 x2 − 1

x 2 − 9 + 2x + 6 ℓ = ℓ im . x→−3− x+3

x 2 − 4x + 3 + x − 1 ℓ = ℓ im . x→1+ x −1

x − 3 + 2 x2 − 1 − 7 ℓ = ℓ im . x→ 2 x −2

x2 − x ℓ = ℓ im . x→ 0 x2 + x

x 2 − 2x ℓ = ℓ im . x→ 2 x −2

x − 2 + x 2 − 3x + 2 ℓ = ℓ im . x→ 2 x −2