Ε2-Π4-εξώφυλλο

Λυμένο παράδειγμα 80 από «Ε2-Π4-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x2 − 1 Ας πάρουμε την συνάρτηση f(x) = και ας εξετάσουμε αν το όριό της στο 1 ορί- x −1 ζεται (ισοδύναμα, αν το ℓ im f(x) είναι καλώς ορισμένο). x→1 Για να ορίζεται η f, πρέπει x − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 , οπότε Df = (−∞ ,1) ∪ (1, + ∞) . Έτσι, αφού το 1 μπορώ να το «πλησιάσω» τόσο από αριστερά (στο αριστερό διάστη- μα) όσο κι από δεξιά (στο δεξί διάστημα), το όριο της f στο 1 ορίζεται (ισοδύναμα, το ℓ im f(x) είναι καλώς ορισμένο). x→1 ΠΡΟΣΟΧΗ ! Κάποιες φορές η άσκηση μπορεί να πάει να βάλει «τρικλοποδιά», κάτι που θα γίνει καλύτερα κατανοητό από το ακόλουθο

Λυμένο παράδειγμα 81 από «Ε2-Π4-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: x −1 Ας πάρουμε το ℓ im . Πού είναι η «τρικλοποδιά»; x→1 x −1 Στο x → 1 ! Είναι λάθος διότι, αν βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης x −1 f(x) = , έχουμε ότι πρέπει x − 1 > 0 ⇔ x > 1 , άρα είναι Df = (1, + ∞) . x −1 Αυτό σημαίνει ότι το 1 μπορούμε να το προσεγγίσουμε μόνο με τιμές μεγαλύτερές του, δηλαδή μόνο από δεξιά. Έτσι, αυτό που πρέπει να κάνουμε είναι να ξαναγράψουμε το ζητούμενο όριο, γρά- x −1 φοντας ℓ im , δηλαδή να αλλάξουμε το λανθασμένο x → 1 με το σωστό x → 1+ . + x→1 x −1 Αν δεν κάνουμε αυτήν την αλλαγή, τότε το όριο δεν είναι σωστό. Υπάρχουν και περι- πτώσεις στις οποίες αυτή η αλλαγή μπορεί να παίξει καθοριστικό ρόλο και στην εξέλι- ξη μιας άσκησης, όχι μόνο στον υπολογισμό του ορίου. - 292 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

⎧⎪ ⎪ x 2 + 3x + 2 , αν x ≤ −1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎪⎨ . Εξετάστε αν υπάρχει το ⎪⎪ x 2 + 3 + x − 1 , αν x > −1 ⎩⎪ όριό της στο −1 .

⎧⎪ ⎪⎪ 3x 2 − x , αν x ≥ 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎨ . Εξετάστε αν έχει όριο στο 1. ⎪⎪ 2x − 1 , αν x < 1 ⎩⎪

⎧⎪ 2 ⎪⎪ x − 9 , αν x < −3 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎪⎨ x + 3 . Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα όρια: ⎪⎪ ⎪⎩⎪ 3x + 5 , αν x ≥ −3 α. ℓ im f(x) . β. ℓ im f(x) . γ. ℓ im f(x) . x→−4 x→−2 x→−3

⎧⎪ x −1 ⎪⎪ , αν x > 1 ⎪⎪ Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎨ ⎪ x + 3 − 2 . ⎪⎪ 3x 2 − 5x + 2 ⎪⎪ , αν 0 < x < 1 ⎪⎩⎪ x2 − x Να βρείτε, αν υπάρχει, το όριο ℓ im f(x) . x→1

⎧⎪ ⎪⎪ x 2 + 2x ⎪⎪ , αν − 4 ≤ x < 0 ⎪⎪ x + 4 −2 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎨ x + 1 , αν 0 < x < 2 . ⎪⎪ ⎪⎪ x2 − x − 2 ⎪⎪ , αν x > 2 ⎪⎩⎪ x 2 − 3x + 2 α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα όρια: Ι. ℓ im f(x) . ΙΙ. ℓ im f(x) . x→ 0 x→ 2

⎧⎪ 2 ⎪⎪ x − 1 , αν x ≠ 1 Να βρείτε, αν υπάρχει, το όριο της f στο 1, αν f(x) = ⎪⎨ x − 1 . ⎪⎪ ⎪⎪⎩ 3 , αν x = 1

⎧⎪ ⎪ x 2 + x + 2 , αν 0 ≤ x ≤ 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎪⎨ . Να εξετάσετε αν υπάρχει το ⎪⎪ 3x − 1 , αν x > 1 ⎩⎪ f(x) − f(1) όριο της συνάρτησης g(x) = στο σημείο x 0 = 1 . x −1