ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-Παράγραφος 1-Κ1 (Α)

Να βρεθεί για ποιες τιμές των κ , λ , µ ∈ ! είναι ίσα τα πολυώνυμα Ρ(x) = λx 2 − (λ − κ)x + µ − 2λ , Q(x) = (µ − λ)x 2 + 4x + κ + λ .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ(x) = (κ − 2)x 2 + (2λ + 6)x + κ + λ − 3 δεν μπορεί να είναι το μηδενικό, για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς κ και λ.

Να προσδιοριστεί ο α ∈ ! , ώστε το πολυώνυμο Ρ(x) = 9x 3 − 3x 2 + 8x − 27 να παίρνει την μορφή α(x 3 + x) − 3x 2 + (x − 3)(x 2 + 3x + 9) .

Να βρεθεί πολυώνυμο, του οποίου το τετράγωνο να ισούται με το Ρ(x) = x 4 + 2x 3 − 3x 2 − 4x + 4 .

Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = 2x 2 − 1 , Π(x) = 3x − 1 , Φ(x) = 3αx 2 + 2βx + γ − α . Να βρείτε τα α , β , γ ∈ ! , ώστε Ρ (Π(x − 1)) = Φ(x + 1) , για κάθε x ∈ ! .

Να βρεθεί πολυώνυμο P(x), για το οποίο ισχύει (2x − 1) ⋅ Ρ(x) = 2x 3 + 5x 2 + 11x − 7 , x ∈ ! .

Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x 2 + 2x + 5 . Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α, αν ισχύει Ρ(α − 1) = 13 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να προσδιορίσετε τα Α , Β , α , β , γ ∈ ! , ώστε: 2x Α Β 2x 2 + 10x − 3 α β γ α) = + . β) = + + . (x + 1)(x − 2) x +1 x −2 2 (x + 1)(x − 9) x +1 x+3 x −3

Να βρείτε τον βαθμό του πολυωνύμου Ρ(x) = (1 − λ2 )x 3 + (λ + 1)x 2 + x − 3 για τις διάφορες τιμές του λ ∈ ! .

Να βρείτε τον βαθμό του πολυωνύμου Ρ(x) = (α 3 − 3α 2 + 2α)x 3 + (α 2 − α)x + 1 − α για τις διάφορες τιμές του α ∈ ! .

Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (α − 1)x 3 + (α + β − 2)x 2 + (γ − 2)x + α 2 − 1 . Να βρεθεί για ποιες τιμές των παραμέτρων το πολυώνυμο είναι: α) τρίτου βαθμού. β) πρώτου βαθμού.

Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (λ2 − 4)x 3 + 2(λ2 − 5λ + 6)x 2 − (λ2 − 2λ)x . Να βρεθούν οι πραγματικές τιμές του λ, ώστε το πολυώνυμο να είναι το μηδενικό. Υπάρχουν τιμές του λ, για τις οποίες το P(x) είναι σταθερό και μη μηδενικό;

Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (κ3 − 4κ)x 3 + (κ + 2)x 2 − (κ − 2)x − κ . Να βρεθεί ο βαθμός του πολυωνύμου, για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθ- μού κ.

Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = x 4 − x 3 − 3x 2 + 5x − 2 , Q(x) = (αx + β)(x − 1)3 . Να βρεθούν οι τιμές των α, β, ώστε να ισχύει P(x) = Q(x) .

Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x 3 + κx 2 + λx + 2 . Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί κ και λ, αν Ρ(−1) = 2 και μία ρίζα του πολυωνύμου είναι το −2 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ(x) = x 3 + κ2x 2 − κx + 1 , κ ∈ ! , δεν μπορεί να έχει ρίζα το 1.

Να βρεθεί πολυώνυμο P(x), τρίτου βαθμού, ώστε να ισχύουν Ρ(0) = 0 και Ρ(x) − Ρ(x − 1) = x 2 , για κάθε x ∈ ! .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνονται δύο πολυώνυμα p(x), q(x), τα οποία δεν έχουν κοινή ρίζα. Να αποδείξετε ότι και τα πολυώνυμα f(x) = p(x) + q(x) , g(x) = p(x) ⋅ q(x) δεν έχουν κοινή ρίζα.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται η συνάρτηση (α − 2)x 2 + (β − 4)x + γ − 6 f(x) = , με α , β , γ ∈ ! και α + β + γ = 30 . x 2 + 2x + 3 Να προσδιορίσετε τα α, β, γ, ώστε η συνάρτηση να είναι σταθερό πολυώνυμο, για κάθε x∈!.

Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ, για τον οποίο το πολυώνυμο λ Ρ(x) = (λ2 − 2λ)x 3 + (λ2 − 5λ + 6)x + −1 2 είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

Να βρείτε τον βαθμό του πολυωνύμου Ρ(x) = (α − 1)(α 2 − 9)x 3 + (α 2 − 4α + 3)x 2 + 3α − 9 , για τις διάφορες τιμές του α ∈ ! .

Να βρείτε τα α , β , γ , δ ∈ ! , για τα οποία το πολυώνυμο Ρ(x) = x 4 + αx 3 + βx 2 + γx + 16 είναι τέλειο τετράγωνο του Q(x) = x 2 + x + δ .

Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ! , ώστε οι αριθμητικές τιμές του πολυωνύμου Ρ(x) = x 3 + (2α − 3β)x 2 + (2 − α)x + β − α , για x = −1 και x = 1 , να είναι 3 και −5 αντίστοιχα.

Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α 2 − 3)x 3 + (β − 2)x 2 + (3α − 2β)x + α και Q(x) = 2x 3 + αx 2 + 9x + γ . Να βρείτε τις τιμές των α , β , γ ∈ ! , ώστε το πολυώνυμο Π(x) = Ρ(x) + Q(x) να είναι: α) το μηδενικό πολυώνυμο. β) μηδενικού βαθμού. γ) τρίτου βαθμού.