Λυμένο παράδειγμα 115 – σελ. 8

Βοηθητική μεταγραφή

Λυμένο παράδειγμα 115 – σελ. 8 από «Μονοτονία (και ακρότατα) συνάρτησης – Κατηγορία 47». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: σελίδας). Θεωρώ την συνάρτηση g(x) = 1 − e x (x + 1) , x > 0 , η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0 , + ∞) , ως πράξεις συνεχών και παρα- γωγίσιμων, αντίστοιχα, συναρτήσεων, με Αν και η g ορίζεται στο ! , εδώ θα μελετήσω την μονοτονία της στο διάστημα που με ενδιαφέρει για την f ′(x) , δηλαδή στο (0 , + ∞) . g ′(x) = −(e x )′ ⋅ (x + 1) − e x ⋅ (x + 1)′ = −e x (x + 1) − e x = −e x (x + 1 + 1) = −e x (x + 2) < 0 , για κάθε x > 0 , αφού είναι e x > 0 , για κάθε x ∈ ! , και x + 2 > 0 , για κάθε x > 0 . Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0 , + ∞) , οπότε από την ανισότητα x > 0 έχω ότι g(x) < g(0) ⇔ g(x) < 1 − e0 (0 + 1) ⇔ g(x) < 0 , συνεπώς είναι και f ′(x) < 0 , για κάθε x > 0 . Θυμήσου, η g(x) είναι ο αριθμητής της f ′(x) , οπότε το πρόσημο της g δίνει το πρόσημο της f ′(x) που ήθελα! Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0 , + ∞) , οπότε από την ανισότητα x > 0 έχω ότι ισχύει f(x) < f(0) ⇔ f(x) < 1 + ℓn(0 + 1) − e0 ⇔ f(x) < 0 . Σχόλιο Το συγκεκριμένο παράδειγμα μπορεί να λυθεί…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα