Μονοτονία (και ακρότατα) συνάρτησης – Κατηγορία 47

Να δείξετε ότι ισχύει e x > x e , για κάθε x > 1 .

Να δείξετε ότι ισχύει x ℓnx ≥ x − 1 , για κάθε x > 0 . Πηγή: Θεόδωρος Παγώνης, «Μαθηματικά Γ΄ Κατεύθυνσης 2015-6», lisari.blogspot.gr

Να δείξετε ότι ισχύει e x > 1 + ℓn(1 + x) , για κάθε x > 0 .

Λυμένο παράδειγμα 115 – σελ. 8 από «Μονοτονία (και ακρότατα) συνάρτησης – Κατηγορία 47». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: σελίδας). Θεωρώ την συνάρτηση g(x) = 1 − e x (x + 1) , x > 0 , η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0 , + ∞) , ως πράξεις συνεχών και παρα- γωγίσιμων, αντίστοιχα, συναρτήσεων, με Αν και η g ορίζεται στο ! , εδώ θα μελετήσω την μονοτονία της στο διάστημα που με ενδιαφέρει για την f ′(x) , δηλαδή στο (0 , + ∞) . g ′(x) = −(e x )′ ⋅ (x + 1) − e x ⋅ (x + 1)′ = −e x (x + 1) − e x = −e x (x + 1 + 1) = −e x (x + 2) < 0 , για κάθε x > 0 , αφού είναι e x > 0 , για κάθε x ∈ ! , και x + 2 > 0 , για κάθε x > 0 . Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0 , + ∞) , οπότε από την ανισότητα x > 0 έχω ότι g(x) < g(0) ⇔ g(x) < 1 − e0 (0 + 1) ⇔ g(x) < 0 , συνεπώς είναι και f ′(x) < 0 , για κάθε x > 0 . Θυμήσου, η g(x) είναι ο αριθμητής της f ′(x) , οπότε το πρόσημο της g δίνει το πρόσημο της f ′(x) που ήθελα! Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0 , + ∞) , οπότε από την ανισότητα x > 0 έχω ότι ισχύει f(x) < f(0) ⇔ f(x) < 1 + ℓn(0 + 1) − e0 ⇔ f(x) < 0 . Σχόλιο Το συγκεκριμένο παράδειγμα μπορεί να λυθεί και με τον ακόλουθο τρόπο, ο οποίος δίνει και έναν ακόμη τρόπο εύρεσης του προσήμου της πρώτης παραγώγου, αν αυτό δεν προκύπτει άμεσα, ούτε μπορεί να βρεθεί λύνοντας την ανίσωση f ′(x) > 0 με κά- ποια από τις κλασικές μεθόδους της Άλγεβρας. Δες το στην συνέχεια. - 826 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 2 • Δ ι α φ ορ ι κός Λ ογ ι σμ ός 10η ΕΝΟΤΗΤΑ. Μονοτονία (και ακρότατα) συνάρτησης

Να δείξετε ότι ισχύει e x > 1 + ℓn(1 + x) , για κάθε x > 0 .

Να βρείτε την μονοτονία της συνάρτησης f(x) = e x − x 2 + x .

x ℓnx Να βρείτε την μονοτονία της συνάρτησης f(x) = . x −1

x2 Να δείξετε ότι ισχύει e x + > x + 1 , για κάθε x > 0 . 2

x Να δείξετε ότι ισχύει ℓn(x + 1) ≤ , για κάθε x ≥ 0 . 1+ x

Για κάθε x > 0 , να δείξετε ότι ισχύει e ℓnx ≤ x .

1 Να δείξετε ότι ισχύει + ℓnx ≥ 1 , για κάθε x > 0 . x

e 2 Να δείξετε ότι ισχύει 1 + ℓnx ≤ x , για κάθε x > 0 . 2

Να δείξετε ότι ισχύει ℓn(1 + x) < x , για κάθε x > 0 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να δείξετε ότι ισχύει x x ≥ e x−1 , για κάθε x > 0 .

Να δείξετε ότι ισχύει ηµx < 2x , για κάθε x > 0 .

Να δείξετε ότι ισχύει 2e x ≥ 2 + 2x + x 2 , για κάθε x ∈ ⎡⎢0 , + ∞) . ⎣

x2 Να δείξετε ότι ισχύει e x > 1 + x + , για κάθε x > 0 . 2

x3 Να δείξετε ότι ισχύει ηµx > x − , για κάθε x > 0 . 3

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να δείξετε ότι ισχύει e x < (1 + x)1+x , για κάθε x > 0 .

⎛ π⎤ Να δείξετε ότι ισχύει x + ηµx + συνx > 1 , για κάθε x ∈ ⎜⎜⎜0 , ⎥ . ⎝ 2 ⎥⎦

Να δείξετε ότι ισχύει e x (x + 1) > 1 , για κάθε x > 0 .

Να δείξετε ότι ισχύει x συνx < ηµx , για κάθε x ∈ (0 , π) .