Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 12

Λυμένο παράδειγμα 34 από «Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 12». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: +∞ 1 ℓnx +∞ (ℓnx)′ 1 ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im x = ℓ im =0. x→ +∞ x x→ +∞ (x )′ x→ +∞ 1 x→ +∞ x

Λυμένο παράδειγμα 35 από «Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 12». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: +∞ 1 x +∞ (x)′ 1 +∞ ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im x = 0. x→ +∞ e x x→ +∞ (e )′ x x→ +∞ e

Λυμένο παράδειγμα 36 από «Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 12». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: +∞ 1 1 ℓnx +∞ (ℓnx) ′ 1 +∞ ℓ = ℓ im x = ℓ im = ℓ im xx = ℓ im = 0. x→ +∞ e x→ +∞ (e x )′ x→ +∞ e x→ +∞ xe x - 187 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 2 • Δ ι α φ ορ ι κός Λ ογ ι σμ ός 3η ΕΝΟΤΗΤΑ. Κανόνες του de l’ Hospital

Λυμένο παράδειγμα 37 από «Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 12». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1 ⎡ ℓn(1 + e−x )⎤ ′ +∞ ⋅ (1 + e−x )′ ℓn(1 + e−x ) −∞ ⎢ ⎦⎥ = ℓ im 1+ e −x e−x ⋅ (−x)′ ℓ = ℓ im = ℓ im ⎣ = ℓ im = x→−∞ x x→−∞ (x)′ x→−∞ 1 x→−∞ 1 + e−x −e−x −e−x ⋅ e x −1 −1 = ℓ im = ℓ im = ℓ im x = = −1 . x→−∞ 1 + e −x −x x→−∞ (1 + e ) ⋅ e x x→−∞ e + 1 0+1 Παρατηρήσεις ❖ Παρατήρηση 1η Ο κανόνας του de l' Hospital για την μορφή αυτή δεν συστήνεται να χρησιμοποιείται όταν υπάρχουν ρίζες (κυρίως τετραγωνικές), διότι δημιουργεί πιο σύνθετες παραστά- σεις (άρα περισσότερες πράξεις), όπως επίσης και όταν υπάρχουν εκθετικές συναρτή- σεις με βάση διαφορετική του e ή όταν εμφανίζονται τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Στις περιπτώσεις αυτές, να δουλέψεις όπως έμαθες στο κεφάλαιο των ορίων. ❖ Παρατήρηση 2η Αν και μετά την εφαρμογή δεύτερης φοράς του κανόνα προκύψει πάλι η ίδια απροσ- διοριστία, συνέχισε σε τρίτη εφαρμογή του. Μην εκπλήσσεσαι από το γεγονός, είναι αρκετά συνηθισμένο. Όμως αν πρέπει να περάσεις σε τέταρτη (ή και πέμπτη) εφαρμογή του, τότε μάλλον κάτι δεν πάει καλά και θα πρέπει να αναθεωρήσεις την τακτική που εφάρμοσες (για παράδειγμα, ίσως κάποια επεξεργασία του τύπου της συνάρτησης του αρχικού ορίου να βελτιώσει την κατάσταση ή η εφαρμογή κάποιας μεθόδου που έμαθες από το προη- γούμενο κεφάλαιο). - 188 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

154. ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = ⇒ ℓ=3 .

155. ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im =

156. ℓ = ℓ im 2

157. ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = ℓ im =

158. ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = ℓ im 2x 2 ⇒ ℓ = +∞ .

159. ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im =

160. ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im =

161. ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im

162. ℓ = ℓ im = ℓ im ⎣ =

163. ℓ = ℓ im = ℓ im ⎣ = ℓ im =

164. ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = ℓ im 1 =

165. ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = ℓ im =