Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 11

Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 11 · Γ΄ Λυκείου: λυμένες ασκήσεις μαθηματικών από το αρχικό υλικό ΕΝΟΤΗΤΑ-3-Κ11.pdf.

Ασκήσεις της συλλογής

Λυμένο παράδειγμα

Λυμένο παράδειγμα 31

Λυμένο παράδειγμα 31 από «Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 11». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 0 ex − 1 0 (e x − 1)′ ex e0 1 ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = = =1. x→ 0 ηµx x→ 0 (ηµx)′ x→ 0 συνx συν0 1

Σελ. 3Λυμένο παράδειγμα

Λυμένο παράδειγμα

Λυμένο παράδειγμα 32

Λυμένο παράδειγμα 32 από «Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 11». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 0 0 x2 0 (x 2 )′ 2x 2x 0 ℓ = ℓ im −x = ℓ im −x = ℓ im −x = ℓ im = x→ 0 e + x −1 x→ 0 (e + x − 1)′ x→ 0 e ⋅ (−x)′ + 1 x→ 0 −e−x + 1 (2x)′ 2 2 ℓ im = ℓ im −x = 0 = 2 . x→ 0 (1 − e −x )′ x→ 0 e e

Σελ. 3Λυμένο παράδειγμα

Λυμένο παράδειγμα

Λυμένο παράδειγμα 33

Λυμένο παράδειγμα 33 από «Κανόνες του de l’ Hospital – Κατηγορία 11». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 0 1 − συνx 0 (1 − συνx)′ ηµx 1 ηµx 1 1 ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = ℓ im = ⋅1 = . x→ 0 x 2 x→ 0 (x )′ 2 x→ 0 2x 2 x→ 0 x 2 2 - 179 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 2 • Δ ι α φ ορ ι κός Λ ογ ι σμ ός 3η ΕΝΟΤΗΤΑ. Κανόνες του de l’ Hospital Στο κεφάλαιο των ορίων το συγκεκριμένο όριο υπολογίστηκε με πολύ πιο... ευφάντα- στο (βασανιστικό, κατ’ εμέ!) τρόπο: 0 1 − συνx 0 (1 − συνx)(1 + συνx) 1 − συν2x ηµ2x ℓ = ℓ im = ℓ im = ℓ im = ℓ im = x→ 0 x2 x→ 0 x 2 (1 + συνx) x→ 0 x 2 (1 + συνx) x→ 0 x 2 (1 + συνx) ⎛ ηµ2x 1 ⎞⎟ 1 1 = ℓ im ⎜⎜⎜ 2 ⋅ ⎟⎟ = 12 ⋅ = . x→ 0 ⎜ x ⎝ 1 + συνx ⎟⎠ 1 + συν0 2 Δεν τίθεται θέμα ποιος τρόπος είναι καλύτερος, έτσι; Παρατηρήσεις ❖ Παρατήρηση 1η Ο κανόνας του de l' Hospital καλύπτει τις περιπτώσεις που ήδη είδες στο κεφάλαιο των ορίων, αλλά να αποφεύγεις να τον χρησιμοποιείς στην περίπτωση τετραγωνικών ριζών! (ή, τουλάχιστον, να τον εφαρμόζεις σε ελάχιστες περιπτώσεις, ας πούμε με «ελαφριές» ρίζες, που έχουν ως υπόρριζο το x ή κάποιο πολυώνυμο του πρώτου βαθ- μού ή e x ). ❖ Παρατήρηση 2η Αν και μετά την εφαρμογή δεύτερης φοράς του κανόνα προκύψει πάλι η ίδια απροσ- διοριστία, συνέχισε σε τρίτη εφαρμογή του. Μην εκπλήσσεσαι από το γεγονός, είναι αρκετά συνηθισμένο. Όμως αν πρέπει να περάσεις σε τέταρτη (ή και πέμπτη) εφαρμογή του, τότε πιθανότα- τα κάτι δεν πάει καλά και μάλλον θα πρέπει να αναθεωρήσεις την τακτική που εφάρ- μοσες (για παράδειγμα, ίσως κάποια επεξεργασία του τύπου της συνάρτησης του αρ- χικού ορίου να βελτιώσει την κατάσταση ή η εφαρμογή κάποιας μεθόδου που έμαθες από το κεφάλαιο των ορίων). - 180 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Σελ. 3–4Λυμένο παράδειγμα

Άσκηση 4