Ε8-Π1-2+Κ28-εξώφυλλο

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x 0 = 1 και ισχύει (x − 1) ⋅ f(x) − ηµ(x − 1) ℓ im =4, x→1 x −1 να βρεθεί το f(1).

f(x) − 2x Αν ℓ im = 1 και η f είναι συνεχής, να βρείτε το x→ 2 x −2 x ⋅ f(x) − 2x 2 + 3f(2) − 6x ℓ im . x→ 2 x −2

x 2 + x + f(x) Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , με f(1) = −2 και ℓ im = −2 . x→1 x −1 Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 1.

f(x) − f(1) Αν υπάρχει το ℓ im και είναι πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε ότι x→1 x −1 η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 = 1 .

f(x + 3) Αν ℓ im = 5 και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 3, να βρείτε το x→ 0 x f(x) − f(3) ℓ im . x→ 3 x −3

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Αν η f δεν είναι συνεχής στο 2, να δείξετε ότι δεν υπάρχει στο ! το f(x + 2) − f(2) ℓ im . x→ 0 x

x 2 + f(x) Έστω f : ! → ! συνάρτηση συνεχής στο x 0 = 2 , με ℓ im =2. x→ 2 x2 − 4 x ⋅ f(x) − 2f(2) α. Να βρείτε το f(2). β. Να υπολογίσετε το όριο ℓ im . x→ 2 x + 2 −2

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία υποθέτουμε ότι είναι συνεχής στο σημείο f(x) − 16 + x x 0 = 0 , και ℓ im = 5. x→ 0 x α. Να αποδειχθεί ότι το σημείο M(0 , 4) ανήκει στην γραφική παράσταση της f. f(x) − f(0) β. Να υπολογιστεί το όριο ℓ im . x→ 0 x

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνεται μία περιττή συνάρτηση f : ! → ! , συνεχής στο σημείο x 0 = 1 , για την οποία f(x) − 5 f(x) − f(−1) ισχύει ℓ im = 10 . Να βρείτε το ℓ im . x→1 x −1 x→−1 x +1

f(x) − 3 − εϕx Έστω μία συνάρτηση f, ορισμένη στο ! , για την οποία ισχύουν ℓ im =5 x→ 0 x2 − x και f(0) = 3 . α. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο x 0 = 0 . f(x) − 3 2f(x) − 3 − 3 β. Να βρείτε τα ℓ im και ℓ im . x→ 0 x x→ 0 x

Δίνεται μία συνάρτηση f, ορισμένη στο ! , για την οποία ισχύει f(x) ⋅ (3x 2 − 48) ℓ im = −∞ . x→ 4 3 x −6 Να εξετάσετε αυτήν την συνάρτηση ως προς την συνέχεια στο σημείο x 0 = 4 .

f(α + h) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x = α και ℓ im = 1 , να αποδείξετε ότι h→ 0 h f(x) − f(α) ℓ im = 1. x→ α x −α