Ε6-Π1-εξώφυλλο

x2 − 3 Να βρείτε το ℓ im f(x) , όταν ℓ im = +∞ . x→1 x→1 f(x)

x −α Δίνεται η συνάρτηση f(x) = , α ∈ ! . Να βρείτε το ℓ im f(x) για τις διάφορες (x − 1)2 x→1 τιμές του α.

f(x) − x Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , με ℓ im = 2 . Να βρείτε το x→1 x −1 f(x) + 1 ℓ = ℓ im 2 . x→1 ⎡ f(x) − 1⎤ ⎢⎣ ⎥⎦

Για τις διάφορες τιμές του µ ∈ ! , να βρείτε, αν υπάρχει, το όριο x 2 + (µ − 1)x − µ ℓ im . x→−1 x 2 + 2x + 1

x2 + α2 Αν f(x) = , α ∈ ! , για ποιες τιμές του α είναι ℓ im f(x) = +∞ ; x 2 − 2αx + 1 x→1

x 2 − 3x − 4 Αν ℓ im = −∞ , να βρεθεί το ℓ im g(x) . x→1 g(x) x→1

2x + 3 − 5 Αν ℓ im = +∞ , να βρεθεί το ℓ im f(x) . x→ 2 f(x) x→ 2

Αν ℓ im ⎡⎢(x 2 − 4) ⋅ f(x) − 3x + 2⎤⎥ = +∞ , να βρεθεί το ℓ im f(x) . x→−1 ⎣ ⎦ x→−1

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! x 2 − λx + 2 Να αποδειχθεί ότι, για κάθε λ ∈ ! , η συνάρτηση f(x) = δεν έχει x 3 − 3x 2 + 3x − 1 πραγματικό όριο στο 1.

f 2 (x) − 5f(x) Αν ℓ im f(x) = +∞ , να υπολογίσετε το ℓ im . x→ 3 x→ 3 3f 2 (x) + 10

Να υπολογίσετε το ℓ im f(x) , εφόσον υπάρχει, όταν: x→−2 f(x) − x x2 − 3 α. ℓ im = −∞ . β. ℓ im ⎡⎢(3x + 1) ⋅ f(x) + 5⎤⎥ = +∞ . γ. ℓ im = −∞ . x→−2 5x + 4 x→−2 ⎣ ⎦ x→−2 f(x)

Αν ℓ im ⎡⎢2f(x) − 3g(x)⎤⎥ = −∞ και ℓ im ⎡⎢3f(x) + 2g(x)⎤⎥ = −1 , να βρείτε τα όρια x→−3 ⎣ ⎦ x→−3 ⎣ ⎦ ℓ im f(x) , ℓ im g(x) . x→−3 x→−3

f(x) Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο ! και ισχύει ℓ im = +∞ , να αποδείξετε ότι x→ 0 x f(x) − α 2f(αx) ℓ im = +∞ , όπου α < 0 . x→ 0 x

x2 + α Να βρείτε τις τιμές του α ∈ ! , για τις οποίες ισχύει ℓ im 2 = +∞ . x→ α x − 4x + α 2

x +1 Αν ℓ im 2 = +∞ , να βρεθεί η τιμή του αριθμού α. x→−1 x + αx + 1

λx 2 − 2 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = . Για τις διάφορες τιμές του λ ∈ ! , να βρείτε το x −1 ℓ im f(x) . x→1

x2 + 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = . Να βρείτε τα α , β ∈ ! , ώστε ℓ im f(x) = +∞ αx 2 + βx + 2 x→1− και ℓ im f(x) = +∞ . x→ 2+

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει ℓ im f(x) = +∞ . Να βρείτε, αν x→ 2 υπάρχουν, τα όρια: f 2 (x) − 3f(x) 4f 3 (x) − 3f(x) + 1 f 3 (x) + 5f(x) α. ℓ im . β. ℓ im . γ. ℓ im . x→ 2 f(x) + 2 x→ 2 f 3 (x) − 2f 2 (x) + 2 x→ 2 f(x) − 3

Δίνεται συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει ℓ im f(x) = −∞ . Να βρείτε, αν x→ 2 υπάρχει, το όριο f(x) + x − x − 4 ℓ im . x→ 2 f 2 (x) + 3f(x) − 5

x −5 Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει ότι ℓ im = +∞ . x→ 3 f(x) − 2 Να βρείτε τα όρια: ηµ ( f(x) − 2 ) x −4 α. ℓ im f(x) . β. ℓ im 2 . γ. ℓ im 2 . x→ 3 x→ 3 f (x) − 4 x→ 3 f (x) − 4f(x) + 4

f(x) ⋅ ηµ(x − 2) Να βρεθεί το ℓ im f(x) , όταν ℓ im = −∞ . x→ 2 x→ 2 x2 + 5 − 3

x ⋅ f(x) Δίνεται η συνάρτηση f : ! → ! , για την οποία ισχύει ℓ im = −2 . x→ 0 x −3 Να βρείτε τα όρια: f(x) f(x) − 4f(−x) α. ℓ im . β. ℓ im . x→ 0 x x→ 0 x

f(x) ⋅ (x 2 − 1) g(x) ⋅ (x 2 − 4) Αν f, g συναρτήσεις, ώστε ℓ im = −∞ και ℓ im = +∞ , x→ 2 x −2 x→ 2 x −1 να βρείτε το ℓ im ⎡⎢ f(x) ⋅ g(x)⎤⎥ . x→ 2 ⎣ ⎦

f(x) ⋅ (x 2 − 3x) Δίνονται συναρτήσεις f , g : ! → ! , με ℓ im = +∞ και x→ 2 x −2 x 2 − 2x f(x) ℓ im = −∞ . Να βρείτε το ℓ im . x→ 2 g(x) ⋅ (x − 3) x→ 2 g(x)