Ε5-Π2-εξώφυλλο

⎧⎪ α(x+1) ⎪ e , αν x ≤ 0 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎨ . Να βρείτε την τιμή του α ∈ ! , ώστε ⎪⎪ 2x + 1 , αν x > 0 ⎩⎪ να υπάρχει το όριο της f στο 0.

⎧⎪ αx + β , αν x ≤ 1 ⎪ Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎨ . Να βρείτε τις τιμές των α , β ∈ ! , ⎪⎪ 4αx − β − 1 , αν x > 1 ⎩⎪ για τις οποίες είναι ℓ im f(x) = 7 . x→1

x 2 + αx + β Να βρείτε τα α , β ∈ ! , ώστε να είναι ℓ im =2. x→1 x2 − 1

αx + β x − 2 Να βρείτε τα α , β ∈ ! , ώστε να είναι ℓ im = −2 . x→1 x −1

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! α ⋅ ηµ4x + x Να βρεθούν τα α , β ∈ ! , ώστε να ισχύει ℓ im =β. x→ 0 x4 + x2

x 2 + αx + β Έστω οι α , β , γ ∈ ! , με ℓ im = γ. x→ 2 x −2 α. Να δειχθεί ότι 4 + 2α + β = 0 . β. Να βρεθούν τα α, β, γ.

2x 2 + (5 + 2α 2 )x + β − 1 Αν ℓ im = 15 , να βρείτε τα α , β ∈ ! . x→1/2 1 x− 2

x 4 + αx 3 − 2β Αν ℓ im = −1 , να βρείτε τα α , β ∈ ! . x→1 x2 − 1

⎧⎪ 2 ⎪ 2αx − βx + 2 , αν x ≤ −1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ⎨ . Να βρείτε τα α , β ∈ ! , ώστε ⎪⎪ −3αx + 2β + 6 , αν x > −1 ⎩⎪ ℓ im f(x) = 3 . x→−1

Να βρείτε τα α , β ∈ ! , ώστε να υπάρχει το ℓ im f(x) και να είναι πραγματικός αριθ- x→1 ⎧⎪ ⎪⎪ 5x 2 + α 2x + β2 , αν x < 1 μός, όταν είναι f(x) = ⎨ . ⎪⎪ 2αx 5 − 4βx + 2011 ℓnx , αν x > 1 ⎩⎪

Θεωρούμε την συνάρτηση g(x) = 4x 2 + (2 − α)x + β . Να βρείτε τα α , β ∈ ! , ώστε x 2 + 11x + g(x) ℓ im g(x) = 18 και ℓ im = 1. x→−2 x→−2 −x 2 + 5x + 14

x 2 + 2αx + β + 2 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = . Αν ℓ im f(x) = 2 , να βρείτε τα α , β ∈ ! . x2 − 1 x→1

α 2x + 3α ⋅ ηµx −2x 2 − 2x ⋅ συνx + 2x Έστω f(x) = , g(x) = . Να βρείτε το α ∈ ! , ώστε x x2 να είναι ℓ im f(x) = ℓ im g(x) . x→ 0 x→ 0

2αx 2 + 5βx − 6 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = , α , β ∈ ! , με ℓ im f(x) = 14 . x −3 x→ 3 α. Να δείξετε ότι, για x ≠ 3 , είναι 18α + 15β = 6 . β. Να βρεθούν οι τιμές των α και β, για x ≠ 3 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! ⎧⎪ ηµ(αx) ⎪⎪ , αν x < 0 ⎪⎪ x Αν f(x) = ⎪⎨ , να βρείτε το ℓ im f(x) , για κάθε α ∈ ! . ⎪⎪ x −x x→ 0 ⎪⎪ 2 , αν x > 0 ⎪⎩⎪ x + 2 x

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! ⎧⎪ 2x − 1 , αν x < λ ⎪ Αν f(x) = ⎨ 2 , να βρείτε το ℓ im f(x) , για κάθε λ ∈ ! . ⎪⎪ x − x + λ , αν x ≥ λ x→ 4 ⎪⎩

x 3 + αx 2 + βx Δίνεται η συνάρτηση f(x) = , με α , β ∈ ! , για την οποία ισχύει x 2 − 3x + 2 f(x) − 2 ℓ im f(x) = 2 . Να βρείτε τις τιμές των α και β, καθώς και το ℓ im . x→1 x→1 x −1