Άσκηση ολοκληρωμάτων 70

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 70 από «Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ (1 − x ) ⋅ ηµx dx . 0 2 π π π π Ι= ∫ (1 − x ) ⋅ ηµx dx = ∫ (ηµx − x ηµx) dx = ∫ ηµx dx − ∫ x ηµx dx = 0 2 0 2 0 0 2 0 0 ∫ x ηµx dx = − ⎡⎢⎣συνx⎤⎥⎦ + ∫ (−συνx)′ ⋅ x dx = π π = ⎡⎢−συνx ⎤⎥ + 2 2 ⎣ ⎦0 0 π π 0 0 ∫ (−συνx) ⋅ (x )′ dx = 0 = ⎡⎢συνx ⎤⎥ + ⎡⎢−x συνx ⎤⎥ −2 2 ⎣ ⎦π ⎣ ⎦π π 0 0 = συν0 − συνπ − ⎡⎢ x 2συνx ⎤⎥ + ⎣ ⎦π ∫ συνx ⋅ 2x dx = π 0 2 = 1 − (−1) − (0 ⋅ συν0 − π ⋅ συνπ) + 2 ⋅ 2 ∫ x συνx dx = 2 + π ⋅ (−1) + 2 ⋅ Ι ⇒ π 2 1 ⇒ Ι = 2 − π 2 + 2 ⋅ Ι1 (1) Είναι 0 0 0 ∫ x συνx dx = ∫ (ηµx)′ ⋅ x dx = ⎡⎣⎢x ηµx⎤⎦⎥ − ∫ ηµx ⋅ (x)′ dx = 0 Ι1 = π π π π 0 0 ∫ ∫ 0 = 0 ⋅ ηµ0 − π ⋅ ηµπ − ηµx dx = (−ηµx) dx = ⎡⎢συνx ⎤⎥ = συν0 − συνπ ⇒ Ι1 = 2 . ⎣ ⎦π π π - 103 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Τελικά, από την (1) έχω ότι Ι = 2 − π2 + 2 ⋅ 2 ⇔ Ι = 6 − π2 . e

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα