Άσκηση ολοκληρωμάτων 64

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 64 από «Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫1 x2 dx . ⎛ 1 ⎞⎟′ e e e e e ℓn2x 1 ⎡ 1 ⎤ −1 Ι= ∫ 1 x2 dx = ∫1 x 2 ⋅ ℓn2x dx = ∫1 ⎜⎜− ⎟ ⋅ ℓn2x dx = ⎢− ⋅ ℓn2x ⎥ − ⎜⎝ x ⎟⎟⎠ ⎢ x ⎣ ⎥ ⎦1 1 x ∫ ⋅ (ℓn2x)′ dx = e e 1 e ⎡ ℓn2x ⎤ 1 ⎡ ℓn2x ⎤ 1 1 ⎢ = −⎢ ⎥ ⎥ ⎢⎣ x ⎥⎦ 1 + 1 x ∫ ⋅ 2ℓnx ⋅ (ℓnx) dx = ⎢⎢ ′ ⎥ +2⋅ ⎥ ⎢⎣ x ⎥⎦ e 1 x ⋅ ℓnx ⋅ dx = x ∫ e ℓn2 1 ℓn2e 1 1 = 1 − e +2⋅ ∫1 x 2 ⋅ ℓnx dx ⇒ Ι = − e + 2 ⋅ Ι1 (1) Είναι ⎛ 1 ⎞⎟′ e e e e 1 ⎡ ⎤ −1 ⎜⎜− ⎟ ⋅ ℓnx dx = ⎢− 1 ⋅ ℓnx ⎥ − Ι1 = ∫ 1 x2 ⋅ ℓnx dx = ∫1 ⎟ ⎜⎝ x ⎟⎠ ⎢ x ⎣ ⎥ ⎦1 1 x ∫ ⋅ (ℓnx)′ dx = e e 1 e e ⎡ ℓnx ⎤ 1 1 ⎡ ℓnx ⎤ −1 ℓn1 ℓne ⎡⎢ 1 ⎤⎥ 1 ⎛⎜ 1 1⎞⎟ = −⎢ ⎢ x ⎥ ⎣ ⎥ + ⎦1 1 x ⋅ dx = ⎢ x ∫ ⎢ x ⎥ ⎣ ⎥ − ⎦e 1 x 2 dx = 1 − e − ⎢x⎥ ⎣ ⎦1 = ∫− e − ⎜ ⎜⎝ e − 1 ⎟⎟ = ⎟⎠ 1 1 2 =− − + 1 ⇒ Ι1 = 1 − . e e e Τότε από την (1) έχω ότι ⎛ 2⎞ 1 4 1 5 2e − 5 Ι = 2 ⋅ ⎜⎜⎜1 − ⎟⎟⎟ − = 2 − − = 2 − ⇔ Ι = . ⎝ e ⎟⎠ e e e e e - 98 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα π/4

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα