Άσκηση ολοκληρωμάτων 60

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 60 από «Ε2(Θ2)+Κ3(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x ⋅ ℓn(x + 1) dx . 1 ⎛ x 2 ⎞⎟′ e e e e ⎡ 2 ⎤ x2 ⎡ ⎜⎜ ⎟ ⋅ ℓn(x + 1) dx = ⎢ x ⋅ ℓn(x + 1)⎥ − ′ Ι= 1 ∫x ⋅ ℓn(x + 1) dx = 1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ∫ ⎢ ⎢⎣ 2 ⎥ ⎥⎦ 1 1 2 ⋅ ⎢ ℓn(x + 1)⎤⎥ dx = ⎣ ⎦ ∫ e e2 12 1 1 = 2 ⋅ ℓn(e + 1) − ⋅ ℓn(1 + 1) − ⋅ 2 2 ∫ x ⋅ x + 1 ⋅ (x + 1)′ dx = 1 2 e e2 1 1 x2 e2 1 1 = 2 ⋅ ℓn(e + 1) − ℓn2 − ⋅ 2 2 ∫1 x +1 dx ⇒ Ι = 2 ⋅ ℓn(e + 1) − ℓn2 − ⋅ Ι1 2 2 (1) Το Ι1 είναι «απλό» ολοκλήρωμα. Πρόσεξε τον τρόπο υπολογισμού του. Αν και κατατάσσεται στα ολοκληρώματα των ρητών συναρτήσεων (θα δεις πώς αυτά υπολογίζονται στην 5η ομάδα), η αντιμετώπισή του ως «απλού» δίνει μια εναλλακτική πορεία. Είναι e e e x2 x2 − 1 + 1 ⎛ x2 − 1 1 ⎞⎟⎟ Ι1 = ∫ 1 x +1 dx = ∫1 x +1 dx = ∫ 1 ⎜⎜ ⎜⎜ x + 1 ⎝ + ⎟ dx = x + 1⎟⎠ e e e e (x + 1) (x − 1) 1 1 = ∫ 1 x +1 dx + ∫ 1 x +1 dx = ∫ 1 (x − 1) dx + ∫1 x +1 ⋅ (x + 1)′ dx = e e ⎡ x2 ⎤ ′ e2 ⎛ 12 ⎞ ⎜⎜ − 1⎟⎟ + ⎡ ℓn(x + 1)⎤ e = ⎢ ⎥ = ⎢ − x⎥ + ⎣⎢ 2 ⎦⎥ 1 1 ⎡ ⎣⎢ ℓn(x + ∫ 1) ⎤ ⎦⎥ dx = 2 − e − ⎜⎜ 2 ⎝ ⎟⎟ ⎣⎢ ⎠ ⎦⎥ 1 e2 1 e2 1 = − e + + ℓn(e + 1) − ℓn(1 + 1) ⇒ Ι1 = − e + + ℓn(e + 1) − ℓn2 . 2 2 2 2 Άρα από την (1…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα