Ε1-Π4-εξώφυλλο

x+2 x 2 + 2x Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις f(x) = , g(x) = είναι ίσες. x2 − 1 x3 − x Στην περίπτωση που είναι f ≠ g , να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του ! , στο οποίο ισχύει f(x) = g(x) .

x2 − 1 x +1 Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις f(x) = , g(x) = είναι ίσες. (x − 1)2 x −1

Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις. Σε όσες δεν είναι, να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο του ! , στο οποίο αυτές είναι ίσες. x +1 x +1 x2 − 1 1 α. f(x) = , g(x) = . β. f(x) = , g(x) = 1 + . x −1 x −1 x2 − x x x 2 − 7x + 12 x −4 γ. f(x) = , g(x) = . 2 x −9 x −3

x +1 2x 2 + 2αx + α Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = , g(x) = , α∈! , x>0. x −1 2(x 2 − 1) α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f, g. β. Για ποια τιμή του α ισχύει f = g ;

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνονται συναρτήσεις f , g : ! → ! , για τις οποίες ισχύει 2 ⎡ f(x) + g(x)⎤ = 4f(x) ⋅ g(x) , για κάθε x ∈ ! . ⎢⎣ ⎥⎦ Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Δίνονται συναρτήσεις f , g : ! → ! , για τις οποίες ισχύει f 2 (x) + g 2 (x) + 8x 2 ≤ 4x ⋅ ⎡⎢ f(x) + g(x)⎤⎥ , για κάθε x ∈ ! . ⎣ ⎦ Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες.

Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f = g . Στην περίπτωση που είναι f ≠ g , να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του ! , στο οποίο ισχύει f(x) = g(x) . x x α. f(x) = x 2 − x − 6 , g(x) = x + 2 ⋅ x − 3 . β. f(x) = , g(x) = . x −1 x −1

Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις στις παρακάτω περιπτώσεις: −1 α. f(x) = x − x 2 + 1 , g(x) = . x + x2 + 1 ⎛1 ⎞ β. f(x) = ℓn ⎜⎜⎜ − 2⎟⎟⎟ , g(x) = ℓn(1 − 2x) − ℓnx . ⎝x ⎟⎠

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρεθεί ο λ ∈ ! , ώστε να είναι ίσες οι συναρτήσεις −λx 3 + 3x − 4 f(x) = , g(x) = −λx − 1 . x 2 − λx + 4