Λύση σχολικού βιβλίου – Β8/114

Βοηθητική μεταγραφή

Λύση σχολικού βιβλίου – Β8/114 από «ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-Π2». Η εκφώνηση βρίσκεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο· εδώ διατίθεται η λύση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: i. Ισοδύναμα θα δείξω ότι ( ) α 2 − αβ + β2 > 0 ⇔ 2α 2 − 2αβ + 2β2 > 2 ⋅ 0 ⇔ α 2 − 2αβ + β2 + α 2 + β2 > 0 ⇔ ⇔ (α − β) + α 2 + β2 > 0 , το οποίο ισχύει, διότι: 2 • είναι (α − β) ≥ 0 , για κάθε α , β ∈ ! . 2 • είναι α 2 + β2 > 0 , αφού είναι α , β ≠ 0 . ii. Είναι α β α 2 + β2 − αβ Α= + −1 = . β α αβ Επειδή είναι α 2 − αβ + β2 > 0 , για κάθε α , β ∈ ! , με α , β ≠ 0 , όπως απέδειξα στο (i), το πρόσημο της παράστασης Α εξαρτάται από το πρόσημο του γινομένου αβ του πα- ρονομαστή, οπότε: • αν οι α, β είναι ομόσημοι, τότε θα είναι αβ > 0 , άρα και Α > 0 . • αν οι α, β είναι ετερόσημοι, τότε θα είναι αβ < 0 , άρα και Α < 0 . - 52 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λύση σχολικού βιβλίου