μαθηματικάπολυώνυμαρητές συναρτήσειςενεργό μάθημα

Ενεργό Μάθημα: Πολυώνυμα και Ρητές Συναρτήσεις

Mathimatikos Team8 Ιουνίου 202610 λεπτά ανάγνωσης

Σε αυτή τη σελίδα

Πριν Ξεκινήσεις

Δυνάμεις και εκθέτες
Βασική παραγοντοποίηση
Ανάγνωση τομών από γραφήματα

Χρόνος μαθήματος

22 λεπτά

Στόχοι

Τι Θα Μάθεις

Να ξεχωρίζεις δυναμοσυναρτήσεις, πολυωνυμικές και ρητές συναρτήσεις.
Να χρησιμοποιείς βαθμό, κύριο συντελεστή, ρίζες και παράγοντες για πρόβλεψη γραφήματος.
Να αναγνωρίζεις κατακόρυφες και οριζόντιες ασύμπτωτες σε απλές ρητές συναρτήσεις.

Δραστηριότητα

Δραστηριότητα Προετοιμασίας: Διάβασε το Σχήμα Πριν τον Τύπο

Ένα γράφημα μπορεί να αποκαλύψει αλγεβρική δομή πριν γνωρίζεις τον ακριβή τύπο.

Αν ένα γράφημα τέμνει τον άξονα $x^{'} x$ στα $x = - 2$ , $x = 1$ και $x = 3$ , ποιοι παράγοντες μπορεί να υπάρχουν;
Αν και τα δύο άκρα του γραφήματος πηγαίνουν προς τα πάνω, ο βαθμός μάλλον είναι άρτιος ή περιττός;
Αν το γράφημα ακουμπά τον άξονα στο $x = 1$ αλλά δεν τον τέμνει, τι μπορεί να ισχύει για τον παράγοντα $x - 1$ ;

Υπόδειξη

Η τομή συνήθως δείχνει περιττή πολλαπλότητα. Η επαφή και αναστροφή συνήθως δείχνει άρτια πολλαπλότητα.

Λύση

Πιθανοί παράγοντες είναι οι $(x + 2)$ , $(x - 1)$ και $(x - 3)$ .

Τα δύο άκρα στην ίδια κατεύθυνση δείχνουν άρτιο βαθμό.

Η επαφή στο $x = 1$ δείχνει ότι ο $(x - 1)$ εμφανίζεται άρτιο πλήθος φορών.

Ορισμός

Δυναμοσυναρτήσεις και Πολυώνυμα

p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

Μια δυναμοσυνάρτηση έχει μορφή $f (x) = k x^{n}$ .

Ένα πολυώνυμο είναι άθροισμα δυναμοσυναρτήσεων με μη αρνητικούς ακέραιους εκθέτες.

Ο βαθμός και ο κύριος συντελεστής ελέγχουν συνήθως τη συμπεριφορά πολύ αριστερά και πολύ δεξιά.

Ρίζες και Αλλαγές Κατεύθυνσης

Το πολυώνυμο $y = (x + 2) (x - 1)^{2} (x - 3)$ τέμνει στα $x = - 2$ και $x = 3$ , αλλά εφάπτεται στο $x = 1$ .

Διαδραστικό Γράφημα

Ορισμός

Ρίζες και Παράγοντες

Αν $p (a) = 0$ , τότε το $a$ είναι ρίζα του πολυωνύμου.

Μια ρίζα στο $x = a$ αντιστοιχεί συνήθως σε παράγοντα $(x - a)$ .

Ένα πολυώνυμο βαθμού $n$ έχει το πολύ $n$ πραγματικές ρίζες και το πολύ $n - 1$ σημεία αλλαγής μονοτονίας.

Λυμένο παράδειγμα

Λυμένο Παράδειγμα: Φτιάξε Πολυώνυμο από Ρίζες

Φτιάξε πολυώνυμο με ρίζες $- 1$ , $2$ και $2$ , και θετικό κύριο συντελεστή.

Λύση

Η ρίζα $- 1$ δίνει παράγοντα $(x + 1)$ .

Η διπλή ρίζα $2$ δίνει παράγοντα $(x - 2)^{2}$ .

Μία απλή απάντηση είναι $p (x) = (x + 1) (x - 2)^{2}$ .

Ορισμός

Ρητές Συναρτήσεις και Ασύμπτωτες

r (x) = \frac{P ( x )}{Q ( x )}

Μια ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο πολυωνύμων.

Ο παρονομαστής δεν επιτρέπεται να μηδενίζεται, άρα οι ρίζες του $Q (x)$ εξαιρούνται από το πεδίο ορισμού.

Κατακόρυφη ασύμπτωτη μπορεί να εμφανιστεί όταν ο παρονομαστής μηδενίζεται και ο παράγοντας δεν απλοποιείται.

Η οριζόντια συμπεριφορά εξαρτάται από τους βαθμούς των $P (x)$ και $Q (x)$ .

Δραστηριότητα

Δραστηριότητα: Ασύμπτωτη ή Αφαιρούμενο Κενό;

Απλοποίησε τη $r (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ για $x \neq = 1$ .
Το $x = 1$ δημιουργεί κατακόρυφη ασύμπτωτη ή αφαιρούμενο κενό;
Σύγκρινε με τη $s (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ . Τι συμβαίνει κοντά στο $x = 1$ ;

Υπόδειξη

Πρώτα παραγοντοποίησε το $x^{2} - 1$ .

Λύση

$x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ , άρα $r (x) = x + 1$ όταν $x \neq = 1$ .

Το $x = 1$ είναι αφαιρούμενο κενό, όχι κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Στη $s (x)$ ο παράγοντας δεν απλοποιείται, άρα $x = 1$ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Σύνοψη

Οι δυναμοσυναρτήσεις είναι τα βασικά δομικά στοιχεία και τα πολυώνυμα είναι αθροίσματά τους.
Οι ρίζες και οι παράγοντες εξηγούν πού το γράφημα τέμνει ή ακουμπά τον άξονα $x^{'} x$ .
Οι ρητές συναρτήσεις απαιτούν έλεγχο πεδίου ορισμού, επειδή η διαίρεση με μηδέν καθορίζει κενά και ασύμπτωτες.

Εξάσκηση

Δοκίμασε

Πρόβλεψε τη συμπεριφορά στα άκρα για $p (x) = - 2 x^{5} + 3 x^{2} - 1$ .
Φτιάξε πολυώνυμο με ρίζες $0$ , $3$ και $3$ .
Βρες τις εξαιρούμενες τιμές της $r (x) = \frac{x + 4}{x ^{2} - 9}$ .

Εξάσκηση σε πολυώνυμα

Περισσότερα άρθρα

Πώς να δημιουργήσεις φύλλα εργασίας μαθηματικών με απαντήσεις

Επίλεξε πρότυπο, ερωτήσεις και εκδοχές. Δες πώς χωρίζονται το φύλλο μαθητή και οι απαντήσεις και τι χρειάζεται να ελέγξεις πριν την εκτύπωση.

Διαβάστε

Αποθήκευση λύσης σε PDF και επιστροφή στο ιστορικό σου

Πώς διαφέρει το PDF προσωπικής λύσης από το PDF φύλλου εργασίας και πώς χρησιμοποιείς το ιδιωτικό ιστορικό του λογαριασμού σου.

Διαβάστε