Before You Start Δυνάμεις και εκθέτες Βασική παραγοντοποίηση Ανάγνωση τομών από γραφήματα Τι Θα Μάθεις Να ξεχωρίζεις δυναμοσυναρτήσεις, πολυωνυμικές και ρητές συναρτήσεις. Να χρησιμοποιείς βαθμό, κύριο συντελεστή, ρίζες και παράγοντες για πρόβλεψη γραφήματος. Να αναγνωρίζεις κατακόρυφες και οριζόντιες ασύμπτωτες σε απλές ρητές συναρτήσεις. Δραστηριότητα Προετοιμασίας: Διάβασε το Σχήμα Πριν τον Τύπο Ένα γράφημα μπορεί να αποκαλύψει αλγεβρική δομή πριν γνωρίζεις τον ακριβή τύπο. 1. Αν ένα γράφημα τέμνει τον άξονα x'x στα x=2, x=1 και x=3, ποιοι παράγοντες μπορεί να υπάρχουν; 2. Αν και τα δύο άκρα του γραφήματος πηγαίνουν προς τα πάνω, ο βαθμός μάλλον είναι άρτιος ή περιττός; 3. Αν το γράφημα ακουμπά τον άξονα στο x=1 αλλά δεν τον τέμνει, τι μπορεί να ισχύει για τον παράγοντα x1; Hint: Η τομή συνήθως δείχνει περιττή πολλαπλότητα. Η επαφή και αναστροφή συνήθως δείχνει άρτια πολλαπλότητα. Solution: Πιθανοί παράγοντες είναι οι (x+2), (x1) και (x3). Τα δύο άκρα στην ίδια κατεύθυνση δείχνουν άρτιο βαθμό. Η επαφή στο x=1 δείχνει ότι ο (x1) εμφανίζεται άρτιο πλήθος φορών. Δυναμοσυναρτήσεις και Πολυώνυμα p(x)=anx^n+a{n1}x^{n1}+\cdots+a1x+a0 Μια δυναμοσυνάρτηση έχει μορφή f(x)=kx^n. Ένα πολυώνυμο είναι άθροισμα δυναμοσυναρτήσεων με μη αρνητικούς ακέραιους εκθέτες. Ο βαθμός και ο κύριος συντελεστής ελέγχουν συνήθως τη συμπεριφορά πολύ αριστερά και πολύ δεξιά. Ρίζες και Αλλαγές Κατεύθυνσης Το πολυώνυμο y=(x+2)(x1)^2(x3) τέμνει στα x=2 και x=3, αλλά εφάπτεται στο x=1. Ρίζες και Παράγοντες Αν p(a)=0, τότε το a είναι ρίζα του πολυωνύμου. Μια ρίζα στο x=a αντιστοιχεί συνήθως σε παράγοντα (xa). Ένα πολυώνυμο βαθμού n έχει το πολύ n πραγματικές ρίζες και το πολύ n1 σημεία αλλαγής μονοτονίας. Λυμένο Παράδειγμα: Φτιάξε Πολυώνυμο από Ρίζες Φτιάξε πολυώνυμο με ρίζες 1, 2 και 2, και θετικό κύριο συντελεστή. Solution: Η ρίζα 1 δίνει παράγοντα (x+1). Η διπλή ρίζα 2 δίνει παράγοντα (x2)^2. Μία απλή απάντηση είναι p(x)=(x+1)(x2)^2. Ρητές Συναρτήσεις και Ασύμπτωτες r(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} Μια ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο πολυωνύμων. Ο παρονομαστής δεν επιτρέπεται να μηδενίζεται, άρα οι ρίζες του Q(x) εξαιρούνται από το πεδίο ορισμού. Κατακόρυφη ασύμπτωτη μπορεί να εμφανιστεί όταν ο παρονομαστής μηδενίζεται και ο παράγοντας δεν απλοποιείται. Η οριζόντια συμπεριφορά εξαρτάται από τους βαθμούς των P(x) και Q(x). Δραστηριότητα: Ασύμπτωτη ή Αφαιρούμενο Κενό; 1. Απλοποίησε τη r(x)=\frac{x^21}{x1} για x\ne 1. 2. Το x=1 δημιουργεί κατακόρυφη ασύμπτωτη ή αφαιρούμενο κενό; 3. Σύγκρινε με τη s(x)=\frac{x+1}{x1}. Τι συμβαίνει κοντά στο x=1; Hint: Πρώτα παραγοντοποίησε το x^21. Solution: x^21=(x1)(x+1), άρα r(x)=x+1 όταν x\ne 1. Το x=1 είναι αφαιρούμενο κενό, όχι κατακόρυφη ασύμπτωτη. Στη s(x) ο παράγοντας δεν απλοποιείται, άρα x=1 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη. Σύνοψη Οι δυναμοσυναρτήσεις είναι τα βασικά δομικά στοιχεία και τα πολυώνυμα είναι αθροίσματά τους. Οι ρίζες και οι παράγοντες εξηγούν πού το γράφημα τέμνει ή ακουμπά τον άξονα x'x. Οι ρητές συναρτήσεις απαιτούν έλεγχο πεδίου ορισμού, επειδή η διαίρεση με μηδέν καθορίζει κενά και ασύμπτωτες. Δοκίμασε 1. Πρόβλεψε τη συμπεριφορά στα άκρα για p(x)=2x^5+3x^21. 2. Φτιάξε πολυώνυμο με ρίζες 0, 3 και 3. 3. Βρες τις εξαιρούμενες τιμές της r(x)=\frac{x+4}{x^29}.