ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ-Παράγραφος 7+Κ11 (Θ+Α)

Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων: π 2εϕ π π π 8 α) 2ηµ ⋅ συν . β) 2συν2 − 1 . γ) 1 − 2ηµ2 135ο . δ) . 12 12 8 π 2 1 − εϕ 8

3 ⎛π ⎞ Αν ηµα = , α ∈ ⎜⎜⎜ , π⎟⎟⎟ , να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: 5 ⎝ 2 ⎟⎠ α α α) Α = ηµ2α + 2συν2α . β) Β = 3ηµ + 4συν . 2 2

3π Αν 25ηµ2x + 5ηµx − 12 = 0 και π < x < , να υπολογίσετε τους παρακάτω τριγωνο- 2 μετρικούς αριθμούς: x α) ηµ2x , συν2x , εϕ2x , σϕ2x . β) ηµ4x , συν4x , ηµ8x , ηµ . 2

1 Αν ηµα − συνα = , να υπολογίσετε το ηµ2α . 5

2ηµα − ηµ2α α ηµ2α + ηµα Να αποδείξετε ότι: α) = εϕ2 . β) = εϕα . 2ηµα + ηµ2α 2 1 + συν2α + συνα

Να αποδείξετε ότι: 1 + συν2α + ηµ2α 1 + ηµα − συνα α α) = σϕα . β) = εϕ . 1 − συν2α + ηµ2α 1 + ηµα + συνα 2 ηµ2α συνα α ηµ4θ συν2θ συνθ θ γ) ⋅ = εϕ . δ) ⋅ ⋅ = εϕ . 1 + συν2α 1 + συνα 2 1 + συν4θ 1 + συν2θ 1 + συνθ 2

α+β Να δείξετε ότι συνα ⋅ (συνα + συνβ) + ηµα ⋅ (ηµα − ηµβ) = 2συν2 . 2

π π 7 Να δείξετε ότι συν4 + ηµ4 = . 12 12 8

3 − 4συν2θ + συν4θ Να δείξετε ότι = εϕ4 θ . 3 + 4συν2θ + συν4θ

Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: α) ηµ2x + συνx = 0 . β) ηµ2x = 3 ηµx . γ) συν2x + ηµ2x = 0 . x δ) συν2x − 2συν2 +1 = 0 . ε) συν2x − 5συνx + 3 = 0 . 2

Για την γωνία α ισχύει 5συν2α − 14συνα − 7 = 0 . 3 α) Να δείξετε ότι συνα = − . 5 3π β) Αν επιπλέον ισχύει π ≤ α ≤ , να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς 2 ηµ2α , συν2α , εϕ2α .

α) Για κάθε πραγματικό αριθμό x, να αποδείξετε ότι συνx ⋅ (ηµ2x + 4ηµx) = (συν2x + 4συνx + 1) ⋅ ηµx . β) Να λύσετε την εξίσωση συν2x + 4συνx + 1 = 0 .

α) Να λύσετε την εξίσωση ηµ2x − 3 συνx = 0 . β) Να αποδείξετε ότι 1 − συν2α α = εϕ , 2ηµα + ηµ2α 2 για όλες τις τιμές του α που ορίζεται η ισότητα.

Αν ισχύει 4ηµ2α − 3συν2α = 3 , συνα ≠ 0 : 3 α) να δείξετε ότι εϕα = . 4 β) να υπολογίσετε τα συν2α , ηµ2α . 1 γ) να λύσετε την εξίσωση εϕ (x − α) = . 7

συν2x Έστω η συνάρτηση f(x) = . συνx + ηµx α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να δείξετε ότι f(x) = συνx − ηµx . x γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(−x) = 2ηµ +2 . 2

Να αποδείξετε ότι: α+β α) (ηµα − ηµβ) + (συνα + συνβ) = 4συν2 2 2 . 2 ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ β) εϕ ⎜⎜⎜ + α⎟⎟⎟ − εϕ ⎜⎜⎜ − α⎟⎟⎟ = 2εϕ2α . ⎝4 ⎠⎟ ⎝4 ⎠⎟

Να αποδείξετε ότι: x α ηµ+ ηµx 1 + συνα + συν 2 x 2 α α) = εϕ . β) = σϕ . x 2 α 2 1 + συν + συνx ηµα + ηµ 2 2

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 3 + συν4θ σϕα + 1 συν2α Να αποδείξετε ότι: α) ηµ4 θ + συν4 θ = . β) = . 4 σϕα − 1 1 − ηµ2α

⎛π ⎞ Για την γωνία α είναι γνωστό ότι α ∈ ⎜⎜⎜ , π⎟⎟⎟ και ότι 9συν2α − 6συνα + 5 = 0 . ⎝ 2 ⎠⎟ Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 2α.

Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ηµ2x = 2εϕx . β) ηµ2x − ηµx = συν2x − συνx + 1 .

x Να λύσετε τις εξισώσεις: α) συνx = 2ηµ +1 . β) συν4x + συν2x = 0 . 2

Να λύσετε τις εξισώσεις: x 1 1 α) ηµ2 − ⋅ ηµ2x = − συνx , στο διάστημα ⎡⎢0 , π⎤⎥ . 2 2 2 ⎣ ⎦ β) συν2x ⋅ ηµ2x = −1 , στο διάστημα ⎡⎢0 , 2π⎤⎥ . ⎣ ⎦

Να βρείτε τις τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των συναρ- τήσεων f(x) = 2x − ηµ3x , g(x) = συν3x + 2x στο διάστημα (0 , 2π) .

8 π Αν ηµα = και < α < π , να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 17 2 2α.