ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ-Παράγραφος 6+Κ10 (Θ+Α)

Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: 4π 13π 4π 13π α) συν ⋅ συν − ηµ ⋅ ηµ . β) ηµ35ο ⋅ συν10ο + συν35ο ⋅ ηµ10ο . 7 14 7 14 13π 6π εϕ − εϕ 7 7 σϕ10ο ⋅ σϕ70ο + 1 γ) ηµ5ο ⋅ ηµ50ο + ηµ85ο ⋅ ηµ40ο . δ) . ε) . 13π 6π σϕ10ο − σϕ70ο 1 + εϕ ⋅ εϕ 7 7

11π Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών: α) 195ο . β) rad. 12

Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: α) ηµ7x ⋅ συν3x − συν7x ⋅ ηµ3x . ( ) ( ) ( β) ηµ x + 10ο ⋅ συν 20o − x + ηµ 80ο − x ⋅ συν x + 70ο . ) ( )

3 π 12 π Αν ηµα = , με 0 < α < , και συνβ = − , με < β < π , να υπολογίσετε τους 5 2 13 2 τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών α + β και α − β .

15 π 5 3π Αν ηµα = , με < α < π , και εϕβ = − , με < β < 2π , να υπολογίσετε τους 17 2 12 2 τριγωνομετρικούς αριθμούς συν (α − β) και εϕ (α + β) .

Αν ηµx + ηµy = κ και συνx + συνy = λ , τότε: κ2 + λ 2 − 2 α. να δείξετε ότι συν (x − y) = . 2 β. για κ = − 2 , λ = 1 , να βρείτε την διαφορά x − y .

Να αποδείξετε ότι: συνω − ηµω εϕ2α − εϕ2β ( α) εϕ 45ο − ω = ) συνω + ηµω . β) εϕ (α + β) ⋅ εϕ (α − β) = 1 − εϕ2α ⋅ εϕ2β .

Να αποδείξετε ότι: ( ) α) συνx + συν 120ο + x + συν 240ο + x = 0 . ( ) β) συν (α + β) ⋅ ηµ (α − β) = ηµα ⋅ συνα − ηµβ ⋅ συνβ . ⎛π ⎞ γ) (συνx − ηµx) ⋅ εϕ ⎜⎜⎜ + x⎟⎟⎟ = συνx + ηµx . ⎝4 ⎠⎟ δ) ηµ (x − y) + συν (x + y) = (ηµx + συνx)(συνy − ηµy) .

Να αποδείξετε ότι: 2ηµ (α − β) 2συν (α − β) α) = εϕα − εϕβ . β) = σϕα + εϕβ . συν (α + β) + συν (α − β) ηµ (α + β) + ηµ (α − β)

Να δείξετε ότι η παράσταση ηµ (α + β) + συν (α − β) Α= ηµα + συνα είναι ανεξάρτητη του α.

π 1 Αν α + β = και εϕα = , να βρεθεί η εϕβ . 4 3

2 Αν α − β = 60ο και εϕβ = , να υπολογίσετε την εϕα . 3

Αν α + β + γ = 90ο , να αποδείξετε ότι: α) εϕα ⋅ εϕβ + εϕβ ⋅ εϕγ + εϕγ ⋅ εϕα = 1 . β) σϕα + σϕβ + σϕγ = σϕα ⋅ σϕβ ⋅ σϕγ .

Αν α + β = γ , να δείξετε ότι εϕγ − εϕα − εϕβ = εϕα ⋅ εϕβ ⋅ εϕγ .

Αν για τις γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει σϕΑ = 3 και σϕΒ = 2 , να δείξετε ότι ∧ Γ = 135ο .

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Να δείξετε ότι εϕ2Α + εϕ2Β + εϕ2Γ = εϕ2Α ⋅ εϕ2Β ⋅ εϕ2Γ .

Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ηµ (Α − Β) = 1 − 2συνΑ ⋅ ηµΒ , να δείξετε ότι αυτό είναι ορθο- γώνιο.

Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει συν (Α + Β) = 1 − 2ηµΑ ⋅ ηµΒ , να δείξετε ότι αυτό είναι ισο- σκελές.

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και εϕΑ , εϕΒ οι ρίζες της εξίσωσης x 2 − 2004x + 2004 3 + 1 = 0 . 3 α) Να δείξετε ότι εϕ (Α + Β) = − . 3 β) Να βρείτε την γωνία Γ.

Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ α) ηµ ⎜⎜⎜x + ⎟⎟⎟ = 2συνx . β) σϕ ⎜⎜⎜x + ⎟⎟⎟ + σϕ ⎜⎜⎜x − ⎟⎟⎟ = 2εϕx . ⎝ 6 ⎠⎟ ⎝ 4 ⎠⎟ ⎝ 4 ⎠⎟ ⎛ π⎞ ηµ ⎜⎜⎜x + ⎟⎟⎟ ⎝ 3 ⎠⎟ 3 γ) = . ⎛ π ⎞⎟ ⎛ π ⎞⎟ 3 συν ⎜⎜⎜x + ⎟⎟ + συν ⎜⎜⎜x − ⎟⎟ ⎝ 3 ⎠⎟ ⎝ 3 ⎠⎟

π Για τις γωνίες α, β ισχύει α − β = . Να αποδείξετε ότι (1 + εϕα)(1 − εϕβ) = 2 . 4

1 2 Αν ηµx + συνy = και συνx + ηµy = − , να βρείτε το ηµ (x + y) . 2 2

1 2 Αν ηµx + ηµy = και συνx + συνy = , να βρείτε το συν (x − y) . 2 2

1 1 Αν για τις γωνίες τριγώνου ΑΒΓ ισχύουν εϕΑ = , εϕΒ = , να αποδείξετε ότι: 2 3 ∧ α) εϕ (Α + Β) = 1 . β) Γ = 135ο .