ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ-Παράγραφος 3-Κ4 (Α)

Να δείξετε ότι ( ) ( ) ( ) ηµ 90ο − ω ⋅ συν 180ο − ω + συν 90ο − ω ⋅ ηµ 180ο − ω = 1 − 2συν2ω . ( )

Να δείξετε ότι ( ) ( ) ( ηµ 180ο − ω ⋅ συν 90ο − ω − συν 180ο − ω ⋅ ηµ 90ο − ω = 1 . ) ( )

Να δείξετε ότι ισχύει ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ συν ⎜⎜⎜ + θ⎟⎟⎟ ⋅ συνθ + ηµθ ⋅ ηµ ⎜⎜⎜ + θ⎟⎟⎟ = 0 . ⎝2 ⎠⎟ ⎝2 ⎠⎟

Να δείξετε ότι ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π ⎞ συνθ + ηµ ⎜⎜⎜ + θ⎟⎟⎟ + συν (π + θ) − ηµ ⎜⎜⎜ − θ⎟⎟⎟ = 0 . ⎝2 ⎟⎠ ⎝2 ⎟⎠

Να υπολογίσετε την παράσταση ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ Α = συν ⎜⎜⎜ − θ⎟⎟⎟ ⋅ ηµθ + ηµ ⎜⎜⎜ − θ⎟⎟⎟ ⋅ συνθ . ⎝2 ⎠⎟ ⎝2 ⎠⎟

Να δείξετε ότι η παράσταση ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ Α = εϕ ⎜⎜⎜ − x⎟⎟⎟ ⋅ εϕx − σϕx ⋅ σϕ ⎜⎜⎜ − x⎟⎟⎟ ⎝2 ⎟⎠ ⎝2 ⎟⎠ είναι ανεξάρτητη του x.

Να βρείτε την τιμή της παράστασης 5π 7π 4π Α = ηµ ⋅ συν ⋅ εϕ . 4 6 3

Να απλοποιήσετε την παράσταση ⎛ 3π ⎞ εϕ ⎜⎜⎜ + ω⎟⎟⎟ ⋅ ηµ (π − ω) ⎝2 ⎠⎟ Α= . ⎛π ⎞⎟ εϕ (ω − 2π) ⋅ ηµ ⎜⎜ − ω⎟⎟ ⎜ ⎝2 ⎟⎠

Να δείξετε ότι ισχύει ( ) ( σϕ 90ο − ω ⋅ συν ω − 360ο ⋅ ηµ 180ο − ω ) ( ) = −εϕ 90 + ω . ( ο ) ( ο εϕ 180 + ω ⋅ ηµ ω ) 2

Να δείξετε ότι η παράσταση 1 ⎛π ⎞ εϕ (π − θ) ⋅ ⋅ συν ⎜⎜⎜ + θ⎟⎟⎟ συν (−θ) ⎝2 ⎟⎠ Α= 1 ⎛ 3π ⎞ ⋅ σϕ ⎜⎜⎜ − θ⎟⎟⎟ ⋅ ηµ (π + θ) συνθ ⎝2 ⎟⎠ έχει σταθερή τιμή, την οποία και να βρείτε.

2 π Αν εϕθ = − , < θ < π , να δείξετε ότι 3 2 ⎛π ⎞ εϕ ⎜⎜⎜ + θ⎟⎟⎟ + συν (π + θ) ⎝2 ⎟⎠ 2 + 13 = . ⎛ 3π ⎞⎟ 2 − 13 ηµ ⎜⎜⎜ − θ⎟⎟ − σϕ (−θ) ⎝2 ⎟⎠

Να δείξετε ότι ισχύει 5π 7π 4π 6 συν ⋅ ηµ ⋅ εϕ = . 4 6 3 4

Να δείξετε ότι ηµ150ο ⋅ συν240ο − συν300ο ⋅ ηµ210ο = 0 .

Να βρείτε την τιμή της παράστασης ⎛ π⎞ 5π 5π 3π Α = εϕ ⎜⎜⎜2π − ⎟⎟⎟ ⋅ σϕ − εϕ ⋅ σϕ . ⎝ 4 ⎠⎟ 4 4 4

Να δείξετε ότι εϕ225ο + εϕ150ο 3− 3 ο ο = . 1 − εϕ225 ⋅ εϕ150 3+ 3

Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = ηµ150ο ⋅ συν315ο + ηµ315ο ⋅ συν150ο .

Να αποδείξετε ότι 3π 7π 4π 3 2 ηµ ⋅ συν ⋅ εϕ =− . 4 6 3 4

Να αποδείξετε ότι: 6 α) ηµ120ο ⋅ ηµ135ο ⋅ ηµ150ο = . β) εϕ210ο ⋅ εϕ225ο ⋅ εϕ240ο = 1 . 8 Πηγή: Γιώργος Μαυρίδης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, εκδόσεις Μαυρίδη, Θεσσαλονίκη, 2010.

Να αποδείξετε ότι: α. ηµ450ο + εϕ190ο + σϕ80ο = 1 + 2εϕ10ο . β. ηµ220ο + 2συν50ο + εϕ240ο = 3 + ηµ40ο . Πηγή: Γιώργος Μαυρίδης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, εκδόσεις Μαυρίδη, Θεσσαλονίκη, 2010.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! π 3π ⎛ π⎞ ⎛π ⎞ Να αποδείξετε ότι: α) ηµ2 + ηµ2 = 1. β) εϕ ⎜⎜⎜θ + ⎟⎟⎟ ⋅ εϕ ⎜⎜⎜ − θ⎟⎟⎟ = 1 . 8 8 ⎝ 3 ⎠⎟ ⎝6 ⎠⎟ Πηγή: Γιώργος Μαυρίδης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, εκδόσεις Μαυρίδη, Θεσσαλονίκη, 2010.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να αποδείξετε ότι, σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ, ισχύουν οι σχέσεις: Β+Γ Α α) ηµ (Β + Γ) = ηµΑ . β) εϕ = σϕ . γ) συν (2Α + Β + Γ) + συνΑ = 0 . 2 2 Πηγή: Γιώργος Μαυρίδης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, εκδόσεις Μαυρίδη, Θεσσαλονίκη, 2010.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: 29π 43π 31π 35π 23π ηµ⋅ σϕ 2ηµ + 2 ⋅ συν − 2συν α) Α = 3 6 . β) Β = 6 4 3 . 21π 26π 39π 53π 34π εϕ + συν σϕ + 3 ⋅ εϕ − 2συν 4 3 4 6 3 Πηγή: Βασίλης Παπαδάκης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Α΄ τεύχος, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε την τιμή της παράστασης 3π ηµ 17π ⎛⎜ 2 π 3π ⎞ Α= 7 + εϕ ⋅ ⎜⎜ηµ + ηµ2 ⎟⎟⎟ . 4π 7 ⎝ 8 8 ⎟⎠ συν 7 Πηγή: Βασίλης Παπαδάκης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Α΄ τεύχος, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012.

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Αν Α, Β, Γ είναι γωνίες τριγώνου ΑΒΓ, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α Β+Γ Β+Γ Λ = συν ⋅ σϕ − συν . 2 2 2 Πηγή: Βασίλης Παπαδάκης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Α΄ τεύχος, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012.