Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού

Λυμένο παράδειγμα 1 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Θα λύσω τον τύπο L = 2πρ ως προς ρ (αντιμετωπίζω το ρ ως «άγνωστο» και τα υπό- λοιπα ως «γνωστά»). Είναι L 2πρ L L = 2πρ ⇔ = ⇔ρ= . 2π 2π 2π

Λυμένο παράδειγμα 2 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Θα λύσω τον τύπο Ρ = 2x + 2y ως προς y (αντιμετωπίζω το y ως «άγνωστο» και τα υπόλοιπα ως «γνωστά»). Είναι 2y P − 2x P − 2x P = 2x + 2y ⇔ P − 2x = 2y ⇔ = ⇔y= . 2 2 2

Λυμένο παράδειγμα 3 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: (β + Β)υ Θα λύσω τον τύπο Ε = ως προς β (αντιμετωπίζω το β ως «άγνωστο» και τα 2 υπόλοιπα ως «γνωστά»). Είναι (β + Β)υ βυ 2Ε − Βυ Ε= ⇔ 2Ε = (β + Β)υ ⇔ 2Ε = βυ + Βυ ⇔ 2Ε − Βυ = βυ ⇔ = ⇔ 2 υ υ 2Ε − Βυ ⇔β= . υ Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -4 -

Άσκηση επανάληψης – Ε1 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: −20 4⋅ 5 4 ⇔ −35x + 5 = −15 − 10x ⇔ −25x = −20 ⇔ x = = ⇔ x= . −25 5⋅ 5 5

Άσκηση επανάληψης – Ε2 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⇔ −3ω − 14 = 1 − 8ω ⇔ 5ω = 15 ⇔ ω = 3 . { }

Άσκηση επανάληψης – Ε3 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎣ ⎦ ⇔ −2(x − 4) + 3(x + 1) − (10 − 2x − 2 − 60) = 15x + 15 ⇔ ⇔ −2x + 8 + 3x + 3 − (−2x − 52) = 15x + 15 ⇔ x + 11 + 2x + 52 = 15x + 15 ⇔ −48 4 ⋅ 12 ⇔ 3x + 63 = 15x + 15 ⇔ −12x = −48 ⇔ x = = ⇔ x=4 . −12 12 7x + 4 3x − 5

Άσκηση επανάληψης – Ε4 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 5 2 Είναι Ε.Κ.Π (5, 2) = 10 οπότε, με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 7x + 4 3x − 5 10 ⋅ − 10 ⋅ x = 10 ⋅ ⇔ 2(7x + 4) − 10x = 5(3x − 5) ⇔ 14x + 8 − 10x = 15x − 25 ⇔ 5 2 −33 3 ⋅ 11 ⇔ 4x + 8 = 15x − 25 ⇔ −11x = −33 ⇔ x = = ⇔ x=3 . −11 11 2x − 5 5x − 3 8

Άσκηση επανάληψης – Ε5 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 3 4 3 Είναι Ε.Κ.Π (3 , 4) = 12 οπότε, με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 2x − 5 5x − 3 8 12 ⋅ − 12 ⋅ + 12 ⋅ = 12 ⋅ 0 ⇔ 4(2x − 5) − 3(5x − 3) + 4 ⋅ 8 = 0 ⇔ 3 4 3 ⇔ 8x − 20 − 15x + 9 + 32 = 0 ⇔ −7x + 21 = 0 ⇔ 7x = 21 ⇔ x = 3 . Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -8 - Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος , καθηγητής Μαθηµατικών Η επανάληψη του Γυµνασίου • Εξισώσεις - ανισώσεις πρώτου βαθµού 5y − 3 3y

Άσκηση επανάληψης – Ε6 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 4 Είναι Ε.Κ.Π (2 , 4) = 4 οπότε, με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 5y − 3 3y 4⋅ −4⋅ = 4 ⋅ y − 4 ⋅ 5 ⇔ 2(5y − 3) − 3y = 4y − 20 ⇔ 2 4 14 ⇔ 10y − 6 − 3y = 4y − 20 ⇔ 7y − 6 = 4y − 20 ⇔ 3y = −14 ⇔ y = − . 3 5x − 7 2x + 7

Άσκηση επανάληψης – Ε7 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 3 Είναι Ε.Κ.Π (2 , 3) = 6 οπότε, με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 5x − 7 2x + 7 6⋅ −6⋅ = 6 ⋅ 3x − 6 ⋅14 ⇔ 3(5x − 7) − 2(2x + 7) = 18x − 84 ⇔ 2 3 ⇔ 15x − 21 − 4x − 14 = 18x − 84 ⇔ 11x − 35 = 18x − 84 ⇔ −7x = −49 ⇔ x = 7 . x+4 x −4 3x − 1

Άσκηση επανάληψης – Ε8 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 3 5 15 Είναι Ε.Κ.Π (3 , 5,15) = 15 οπότε, με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 5(x + 4) − 3(x − 4) = 30 + 3x − 1 ⇔ 5x + 20 − 3x + 12 = 3x + 29 ⇔ 2x + 32 = 3x + 29 ⇔ ⇔ −x = −3 ⇔ x = 3 . x −1 23 − x 4+x

Άσκηση επανάληψης – Ε9 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 7 5 4 Είναι Ε.Κ.Π (7 , 5, 4) = 140 οπότε, με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 20(x − 1) + 28(23 − x) = 140 ⋅ 7 − 35(4 + x) ⇔ 20x − 20 + 644 − 28x = 980 − 140 − 35x ⇔ ⇔ −8x + 624 = −35x + 840 ⇔ 27x = 216 ⇔ x = 8 . Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -9 - Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος , καθηγητής Μαθηµατικών Η επανάληψη του Γυµνασίου • Εξισώσεις - ανισώσεις πρώτου βαθµού 1 5 1 x 8−x 5 x+6 x

Άσκηση επανάληψης – Ε10 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 6 3 2 3 6 3 2 3 ⇔ 8 − x + 6x − 10 = 3(x + 6) − 2x ⇔ 5x − 2 = 3x + 18 − 2x ⇔ 5x − 2 = x + 18 ⇔ ⇔ 4x = 20 ⇔ x = 5 . 1 1 19 − 2x 2x − 11

Άσκηση επανάληψης – Ε11 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 2 2 2 ⇔ 4x − 19 + 2x = 2x − 11 ⇔ 4x − 19 = −11 ⇔ 4x = 8 ⇔ x = 2 . 2(3x − 5) 5(5x + 10) 7(3x + 2)

Άσκηση επανάληψης – Ε12 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 5 12 4 Είναι Ε.Κ.Π (5,12 , 4) = 60 οπότε, με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 2(3x − 5) 5(5x + 10) 7(3x + 2) 60 ⋅ − 60 ⋅ = 60 ⋅ − 60 ⋅ 71 ⇔ 5 12 4 ⇔ 24(3x − 5) − 25(5x + 10) = 105(3x + 2) − 4260 ⇔ ⇔ 72x − 120 − 125x − 250 = 315x + 210 − 4260 ⇔ −53x − 370 = 315x − 4050 ⇔ ⇔ −368x = −3680 ⇔ x = 10 . 7(x − 3) 3(2 − x) 5(x − 1)

Άσκηση επανάληψης – Ε13 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 4 5 6 Είναι Ε.ΚΠ (4 , 5, 6) = 60 οπότε, με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 7(x − 3) 3(2 − x) 5(x − 1) 60 ⋅ − 60 ⋅ − 60 ⋅ = 60(x − 2) ⇔ 4 5 6 ⇔ 105(x − 3) − 36(2 − x) − 50(x − 1) = 60x − 120 ⇔ ⇔ 105x − 315 − 72 + 36x − 50x + 50 = 60x − 120 ⇔ 91x − 337 = 60x − 120 ⇔ ⇔ 31x = 217 ⇔ x = 7 . Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr - 10 - Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος , καθηγητής Μαθηµατικών Η επανάληψη του Γυµνασίου • Εξισώσεις - ανισώσεις πρώτου βαθµού ⎛ 15x ⎞ x −6 5x x −6

Άσκηση επανάληψης – Ε14 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎝ 9 ⎟ ⎠ 3 3 3 ⇔ x + 15 = x + 15 , που ισχύει για κάθε αριθμό x. Άρα η εξίσωση επαληθεύεται για κάθε πραγματικό αριθμό x (είναι ταυτότητα ή έχει άπειρες λύσεις, όπως αλλιώς λέμε). 9x + 7 ⎛⎜ x − 2 ⎞⎟ 9x + 7 x −2

Άσκηση επανάληψης – Ε15 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 ⎝ 7 ⎟⎠ 2 7 ⇔ 7(9x + 7) − 14x + 2(x − 2) = 14 ⋅ 36 ⇔ 63x + 49 − 14x + 2x − 4 = 504 ⇔ ⇔ 51x + 45 = 504 ⇔ 51x = 459 ⇔ x = 9 . ⎛ 3x + 1 2x + 1⎞⎟ ⎛ 5x − 1 x + 5 ⎞⎟

Άσκηση επανάληψης – Ε16 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ⎜⎝ 4 − 6 ⎟⎠⎟ ⇔ ⎟ ⎝ 4 3 ⎠⎟ 3x + 1 2x + 1 5x − 1 x+5 ⇔ 12 − − = 10 − + ⇔ 4 3 4 6 ⇔ 12 ⋅12 − 3(3x + 1) − 4(2x + 1) = 12 ⋅10 − 3(5x − 1) + 2(x + 5) ⇔ ⇔ 144 − 9x − 3 − 8x − 4 = 120 − 15x + 3 + 2x + 10 ⇔ −17x + 137 = −13x + 133 ⇔ ⇔ −4x = −4 ⇔ x = 1 . 1 2x − 1 x− x 1 ⎛2 x⎞ x 1 6 − 5x

Άσκηση επανάληψης – Ε17 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 6 3 3 ⎝ 5 3 ⎟⎠ 6 3 3 15 2x − 1 6 − 5x 12 − 10x ⇔ x− 2 ⋅ −2⋅ = 0 ⇔ x − (2x − 1) − =0⇔ 2 15 15 12 − 10x 12 − 10x ⇔ x − 2x + 1 − = 0 ⇔ 1− x − =0⇔ 15 15 12 − 10x ⇔ 15 ⋅1 − 15 ⋅ x − 15 ⋅ = 15 ⋅ 0 ⇔ 15 − 15x − (12 − 10x) = 0 ⇔ 15 −3 3 ⇔ 15 − 15x − 12 + 10x = 0 ⇔ −5x = −3 ⇔ x = ⇔ x= . −5 5 Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr - 11 - Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος , καθηγητής Μαθηµατικών Η επανάληψη του Γυµνασίου • Εξισώσεις - ανισώσεις πρώτου βαθµού 5x ⎛x ⎞ 5x 10x 5x 5x

Άσκηση επανάληψης – Ε18 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 7 ⎝ 14 ⎟ ⎠ 7 14 7 7 Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη (δεν έχει λύσεις, όπως αλλιώς λέμε). 3x + 2 4x − 3 x −2

Άσκηση επανάληψης – Ε19 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 5 7 35 Είναι Ε.Κ.Π (5, 7 , 35) = 35 οπότε, με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 7(3x + 2) − 5(4x − 3) = 35 ⋅ 4 + x − 2 ⇔ 21x + 14 − 20x + 15 = 140 + x − 2 ⇔ ⇔ x + 29 = x + 138 ⇔ 29 = 138 , αδύνατο. Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. 2x − 1 5x + 2 x −3

Άσκηση επανάληψης – Ε20 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 3 12 4 Είναι Ε.Κ.Π (3 ,12 , 4) = 12 οπότε, με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 4(2x − 1) − (5x + 2) = 3(x − 3) + 12 ⋅1 ⇔ 8x − 4 − 5x − 2 = 3x − 9 + 12 ⇔ ⇔ 3x − 6 = 3x + 3 ⇔ −6 = 3 , αδύνατο. Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. 3x 16 + 7x 2(x − 2)

Άσκηση επανάληψης – Ε21 από «Τ7-Εξισώσεις-ανισώσεις 1ου βαθμού». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 4 20 5 Είναι Ε.Κ.Π (4 , 20 , 5) = 20 οπότε, με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 15x − (16 + 7x) = 8(x − 2) ⇔ 15x − 16 − 7x = 8x − 16 ⇔ 8x − 16 = 8x − 16 , που ισχύει. Άρα, η εξίσωση αληθεύει για κάθε τιμή του x (είναι ταυτότητα). x+6 2(x + 17) 5(x − 10)