Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες

Λυμένο παράδειγμα 1 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 2 + 3 2 + 5 2 −4 2 = 6 2 , 3 2 −5 3 + 4 2 − 3 = 7 2 −5 3 .

Λυμένο παράδειγμα 2 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1 1⋅ 2 2 2 = = = . 2 2⋅ 2 2 2 2 Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -3 - Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος , καθηγητής Μαθηµατικών Η επανάληψη του Γυµνασίου • Πράξεις µε τετραγωνικές ρίζες

Λυμένο παράδειγμα 3 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 2⋅ 5 2 5 2 5 2 5 = = = = . 3 5 3 5⋅ 5 2 3 ⋅5 15 3 5 β) όταν στον παρονομαστή έχεις μια τετραγωνική ρίζα, που προστίθεται ή αφαι- ρείται με κάποιον άλλον αριθμό ή άλλη τετραγωνική ρίζα, τότε πολλαπλασίασε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με την συζυγή παράσταση του παρονομαστή. Δηλαδή, αν στον παρονομαστή έχεις την παράσταση: • α + β , τότε η συζυγής παράσταση είναι η α − β . • α − β , τότε η συζυγής παράσταση είναι η α + β .

Λυμένο παράδειγμα 4 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1 = ( 2 − 1) = 2 − 1 = 2 − 1 = 2 − 1 . 1⋅ 2 +1 ( 2 + 1)( 2 − 1) 2 − 1 2 − 1 2 2

Λυμένο παράδειγμα 5 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 = ( 2⋅ 3+ 2 ) = ( 2 3+ 2 ) = 6+2 2 = 6+2 2 . 3− 2 (3 − 2)(3 + 2) 32 − 2 2 9−2 7

Λυμένο παράδειγμα 6 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 2 ( 2 − 3) = 2 ( 2 − 3) = 2 ( 2 − 3) = 2 ( 2 − 3) = = 2⋅ 2+ 3 ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) 2 − 3 2−3 −1 2 2 = − 2 ( 2 − 3 ) = 2 ( 3 − 2) .

Λυμένο παράδειγμα 7 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 1 = ( 1⋅ 2 2 + 1 ) = 2 2 +1 = 2 2 +1 = 2 2 +1 = 2 2 +1 . 2 2 −1 (2 2 − 1)(2 2 + 1) (2 2) − 1 2 2 2 22 ⋅ 2 − 1 4 ⋅2−1 7 Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -4 -

Λυμένο παράδειγμα 8 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 8 = 4 ⋅ 2 = 22 ⋅ 2 = 2 2 .

Λυμένο παράδειγμα 9 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 12 = 4 ⋅ 3 = 22 ⋅ 3 = 2 3 .

Λυμένο παράδειγμα 10 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 32 = 16 ⋅ 2 = 42 ⋅ 2 = 4 2 .

Λυμένο παράδειγμα 11 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 48 = 16 ⋅ 3 = 42 ⋅ 3 = 4 3 .

Λυμένο παράδειγμα 12 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 72 = 36 ⋅ 2 = 62 ⋅ 2 = 6 2 . Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -5 -

Λυμένο παράδειγμα 13 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 10 Για το κλάσμα , επειδή υπάρχει ρίζα στον παρονομαστή, κάποιος θα μπορούσε 5 να κάνει τα εξής (σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν στο τι πρέπει να γίνει, όταν υπάρχει ρίζα στον παρονομαστή): 10 10 ⋅ 5 50 50 25 ⋅ 2 5 2 = = = = = = 2. 5 5⋅ 5 2 5 5 5 5 Σωστά μεν, αλλά πολλή φασαρία για το τίποτα! Πολύ πιο οικονομικά, έχουμε: 10 10 10 5 ⋅ 2 = = 2 ή και = = 2 . 5 5 5 5 Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -6 -

Άσκηση επανάληψης – Π1 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι: • 18 = 9 ⋅ 2 = 32 ⋅ 2 = 3 2 . • 50 = 25 ⋅ 2 = 52 ⋅ 2 = 5 2 . • 32 = 16 ⋅ 2 = 42 ⋅ 2 = 4 2 . Άρα, Π1 = ( 2 + 2 ⋅ 3 2 − 5 ⋅ 5 2 + 4 ⋅ 4 2 ) ⋅ 2 = ( 2 + 6 2 − 25 2 + 16 2 ) ⋅ 2 = 2 = −2 2 ⋅ 2 = −2 2 = −2 ⋅ 2 = −4 . (

Άσκηση επανάληψης – Π2 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι: • 8 = 4 ⋅ 2 = 22 ⋅ 2 = 2 2 . • 72 = 36 ⋅ 2 = 62 ⋅ 2 = 6 2 . • 20 = 4 ⋅ 5 = 22 ⋅ 5 = 2 5 . Άρα, ( Π2 = 3 ⋅ 2 2 + 5 − 2 2 )(6 2 − 2 ⋅ 2 5 − 3 2 ) = (4 2 + 5 )(3 2 − 4 5 ) = 2 2 = 12 2 − 16 2 ⋅ 5 + 3 2 ⋅ 5 − 4 5 = 12 ⋅ 2 − 13 2 ⋅ 5 − 4 ⋅ 5 = 24 − 13 10 − 20 = = 4 − 13 10 . Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -8 - Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος , καθηγητής Μαθηµατικών Η επανάληψη του Γυµνασίου • Πράξεις µε τετραγωνικές ρίζες (

Άσκηση επανάληψης – Π3 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι: • 63 = 9 ⋅ 7 = 32 ⋅ 7 = 3 7 . • 28 = 4 ⋅ 7 = 22 ⋅ 7 = 2 7 . Άρα, ( ) Π3 = 8 14 − 6 ⋅ 3 7 + 4 ⋅ 2 7 − 10 7 : 2 7 = 8 14 − 18 7 + 8 7 − 10 7 : 2 7 = ( ) ( 2 7 4 2 − 10 ) = 4 2 − 10 . ( = 8 14 − 20 7 : 2 7 = ) 8 7 ⋅ 2 − 20 7 2 7 = 2 7 (

Άσκηση επανάληψης – Π4 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: Είναι: • 12 = 4 ⋅ 3 = 22 ⋅ 3 = 2 3 . • 48 = 16 ⋅ 3 = 42 ⋅ 3 = 4 3 . • 27 = 9 ⋅ 3 = 32 ⋅ 3 = 3 3 . Άρα, ⎛ ⎞ Π4 = ⎜⎜ 4 ⋅ 2 3 − 2 ⋅ 4 3 − 9 3 + 3⎟⎟⎟ : 3 3 = 3−9 3 = 3 1−3 3 ( ) = 1−3 3 = ⎝ ⎠ 3 3 3 3 3 = ( 3 1−3 3 ) = 3 −3 3 = 3 −9 . 2 3⋅ 3 2 3 3 6 6 6 6 6 3

Άσκηση επανάληψης – Π5 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 8 −2 4 ⋅2 −2 22 ⋅ 2 − 2 2 2 −2 2 ( 2 −1 ) 2 −1 ( 2 + 1) = 3 ( 2 + 1) = 3 ( 2 + 1) = 3 2 + 1 . 3 = ( ) ( )( ) 2 − 1 2 − 1 2 + 1 2−1 2 2 Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr -9 - Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος , καθηγητής Μαθηµατικών Η επανάληψη του Γυµνασίου • Πράξεις µε τετραγωνικές ρίζες

Άσκηση επανάληψης – Π6 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: (1 + 2 )(2 + 2 ) = 2 + 2 + 2 2 + 2 = 2 + 3 2 + 2 = 4 + 3 2 . 1+ 2 2 6 2− 2 (2 − 2 )(2 + 2 ) 2 − 2 4−2 2 2 2

Άσκηση επανάληψης – Π7 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 3 ( 5+ 2) = 3( 5 + 2 ) 3 = 3( 5 + 2 ) = 2( 5 − 2 ) 2 ( 5 − 2 )( 5 + 2 ) ⎛ ⎞⎟ 7 ⎜ 2 ⋅ (5 − 2) 2 2 2 ⎜ 5 − 2 ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ = 3 ( 5+ 2) = 5+ 2. 2⋅ 3 2 ( )( )=( ) = 3 + 2 +2 3 ⋅ 2 = 2 2 2 3+ 2 3+ 2 3+ 2 3+ 2

Άσκηση επανάληψης – Π8 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 8 3− 2 ( 3 − 2 )( 3 + 2 ) 3 − 2 3−2 2 2 = 3+2+2 6 = 5+2 6 . ( )( ) = ( ) = 3 + 1 − 2 3 = 3 + 1 − 2 3 = 2 2 3 −1 3 −1 3 −1 3 −1 2

Άσκηση επανάληψης – Π9 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 9 3 +1 ( 3 + 1)( 3 − 1) 3 − 1 3 −1 2 2 2 4−2 3 2 (2 − 3 ) = = = 2− 3 . 2 2 1 1 8− 3 + 8+ 3 2 8 2 4 ⋅2

Άσκηση επανάληψης – Π10 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: 8+ 3 8− 3 ( 8 + 3 )( 8 − 3 ) 2 8 − 3 2 8−3 2 22 ⋅ 2 2⋅2 2 4 2 = = = . 5 5 5 Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr - 10 - Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος , καθηγητής Μαθηµατικών Η επανάληψη του Γυµνασίου • Πράξεις µε τετραγωνικές ρίζες ( ) ( ) = 1 1 −2 −2

Άσκηση επανάληψης – Π11 από «Τ6-Πράξεις με τετραγωνικές ρίζες». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: (2 − 3 ) (2 + 3 ) 2 2 1 1 1 1 7+ 4 3 +7− 4 3 = + = + = = 2 2 + 3 −4 3 2 2 2 + 3 +4 3 2 7−4 3 7+4 3 ( 7−4 3 )( 7+4 3 ) 14 14 14 = = = = 14 . ( ) 49 − 16 ⋅ 3 49 − 48 2 72 − 4 3 ( 3x + 2 − 3x − 2 ) = 3x + 2 + 3x − 2 − 2 3x + 2 ⋅ 3x − 2 = 2 2 2