ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-50 επαναληπτικές ασκήσεις

1 Αν x = και y = 2004 , να υπολογίσετε την παράσταση 2004 A = −6 (x − y) x − 3 ⎡⎢ x − (x + y) x − x (x + y)⎤⎥ + 3x . ⎣ ⎦

Να δειχθεί ότι η τιμή της παράστασης (x − 10x + 25) (x + 5) 3 3 2 Α= (5 − x) (25 − x ) 3 3 2 είναι ανεξάρτητη της μεταβλητής x (x ≠ 5,− 5) .

α. Να απλοποιηθεί η παράσταση (α + β) − (α − β) . 2 2 β. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης 2 2 ⎛ 2004 2005 ⎞⎟ ⎛⎜ 2004 2005 ⎞⎟ ⎜⎜ + ⎟⎟ − ⎜ − ⎟⎟ . ⎜⎝ 2005 2004 ⎠⎟ ⎜⎝ 2005 2004 ⎠⎟

Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) x2 + x + 1 x2 − 1 ⋅ 3 . β) (x − x) + 2x − 2 . γ) x − 2x + x . 2 3 2 x +1 x −1 x2 − 1 x2 − x x (x − 2) + 1 x 2 − 3x + 2 x 2 + 2x δ) . ε) ⋅ . (x − 2)(x − 1) x2 − x x2 + x − 2

1 1 Αν x + = y+ , τότε να δείξετε ότι είτε x = y είτε xy = 1 . x y

Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: −2 ⎡ −4 ⎤ ⎢ (x − 1) (x − 1) ⎥ 2 7x 3 y−1 − x 3 y−1 α) A = ⎢ ⎥ . β) B = . ⎢ ⎥ ( ) −3 ⎢⎣ x − 1 ⎥⎦ y3x5

x x − 2y 1 Αν = 3 , να δείξετε ότι = . y 3x − y 8

Αν xy(2y − x) ≠ 0 , να δείξετε ότι είναι ανεξάρτητη των x, y η παράσταση 1 1 + . x 2y 1− 1− 2y x

x+y 3 x Αν = , y ≠ 0 , να βρεθεί ο λόγος και η τιμή της παράστασης x−y 2 y x2 − y2 A= . 2xy + x 2

β2 α2 Δίνονται οι θετικοί αριθμοί α, β, με α ≠ β , για τους οποίους ισχύει = . β4 + 1 α4 + 1 Να δείξετε ότι οι α και β είναι αντίστροφοι και ότι ( ) −5 α18 β−3 =1. α 3 (αβ) −5

Αν α − β = 2 , να αποδείξετε ότι α 2 + β2 − 4α − 2αβ + 4β + 3 = −1 .

Να αποδείξετε ότι: ⎡⎛ 1 ⎞⎛ 1 1 ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ α. ⎢⎢ ⎜⎜⎜ − 1⎟⎟⎟⎜⎜⎜1 + + 2 ⎟⎟⎟ ⎥⎥ : ⎜⎜⎜ 3 − 1⎟⎟⎟ = 1 . ⎢⎣ ⎝ x ⎟⎠⎝ x x ⎟⎠ ⎥⎦ ⎝ x ⎟⎠ ⎛ 1 ⎞⎟ 1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎛ ⎜ β ⎟⎟ ⎜ 1 1 ⎞⎟ β. ⎜⎜⎜ − α ⎟⎟ : ⎜⎜ + ⎟⎟ = 1 . ⎜⎜ β α ⎟⎟ ⎝ β α ⎟⎠ ⎜⎜ 1 − α β − 1 ⎟⎟ ⎝ ⎠

Αν 1 ≤ x ≤ 2 και 3 ≤ y < 5 , να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις: 2x α) 2x + y . β) 3x − 2y . γ) . δ) 2x 2 + y2 . y

Αν α + β = 4 , να δειχθεί ότι αβ ≤ 4 και α 2 + β2 ≥ 8 .

Αν α > −1 > β , να αποδείξετε ότι 1 + α + β + αβ < 0 .

α3 Αν α ≤ −2 , να αποδείξετε ότι + 4 ≤ α 2 + 2α . 2

⎛1 1⎞ Αν α > 0 και β < 0 , να αποδείξετε ότι (α − β)⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ≥ 4 . ⎝α β ⎟⎠

x2 + y2 x+y Αν x , y > 0 , να δειχθεί ότι ≥ . x+y 2

Να βρείτε τις τιμές των x, y για τις οποίες ισχύει 5x 2 + 4x + y2 − 2xy + 1 = 0 .

Αν είναι 2 < x < 8 , να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις 1 1 Α = 2x , B = −2x , Γ = + 2 , Δ = 1− , x 1− x 2x − 3 E= , Ζ = x2 , H = 1 − x3 . x

αβ α+β Αν α, β είναι θετικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι ≤ . α+β 4

Να αποδείξετε ότι: α) 2y2 − 8y + 16 > 0 , για κάθε y ∈ ! . β) 2α 2 + 2α + 1 > 0 , για κάθε α ∈ ! . (α + β) + 2αβ ≥ −3β , για κάθε α , β ∈ ! . 2 2 γ)

Αν α < β < γ , να γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής την παράσταση Α = 3 α −β −2 γ −α + 3 β− γ .

Αν −3 < x < 2 , να γράψετε χωρίς τις απόλυτες τιμές τις παραστάσεις: α) Α = 2 x + 3 − 6 x − 2 + x − 1 . β) Β = 2 − x − x − 4 .