Κωνικές Τομές

Δίνεται η εξίσωση x 2 + y2 + 2λx − (λ + 1)y − (λ + 1) = 0 . Να δείξετε ότι παριστάνει κύ- κλο, για κάθε λ ∈ ! .

Αν η εξίσωση x 2 + y2 + 2λx − (λ + 1)y − (λ + 1) = 0 , παριστάνει κύκλους για κάθε λ ∈ ! , να δείξετε ότι αυτοί διέρχονται από δύο σταθερά σημεία, τα οποία να βρείτε.

Αν η εξίσωση x 2 + y2 + λx − 2y + λ = 0 , λ ≠ 2 , παριστάνει κύκλους, να δείξετε ότι αυ- τοί διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου c : x 2 + y2 = 10 , η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ε : y = −x + 1 .

Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου c : x 2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 στο σημείο του Α(−1, 2) .

Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο το Κ(2 ,− 1) , ο οποίος διέρχεται από το σημείο Α(3 , 2) .

Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος διέρχεται από το σημείο Α(−2 , 3) και εφάπτεται του άξονα x΄x στο σημείο του Β(−1, 0) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(3 ,− 1) , Β(4 , 2) και Γ(4 , 0) .

Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(1, 4) και Β(−3 , 0) και έχει ακτίνα 10 .

Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος έχει ακτίνα 2, διέρχεται από το σημείο ( Α 2, 3 ) και έχει το κέντρο του στον άξονα x΄x.

Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, όπου Α(−2 , 0) , Β(4 , 0) .

Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σημείο Α(−2 ,1) και εφάπτε- ται του άξονα y΄y στο σημείο Β(0 ,− 3) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει ακτίνα 2 και εφάπτεται εξωτερικά του κύκλου c1 : x 2 + y2 = 9 στο σημείο του Α(0 , 3) .

Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το Κ(3 ,− 2) και εφάπτεται της ευθείας ε : y = 3x − 1 .

Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται της ευθείας ε : 3x − 2y = 10 και εί- ναι ομόκεντρος του κύκλου c1 : 3x 2 + 3y2 + 2x − 6y − 1 = 0 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο την κοινή χορδή των κύκλων c1 : x 2 + y2 − 2x − 1 = 0 , c2 : x 2 + (y + 1)2 = 4 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(−3 ,1) και αποκόπτει από την ευθεία ε : 3x + 4y = 0 χορδή μήκους 8.

Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος εφάπτεται της ευθείας y = 2x + 3 στο σημείο της Α(−1,1) και έχει ακτίνα 20 .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις ευθείες ε1 : 3x + 2y + 1 = 0 και ε2 : 9x + 6y = 10 και το ένα σημείο επαφής είναι το Α(1,− 2) .

Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος διέρχεται από τα σημεία τομής των κύ- κλων c1 : x 2 + y2 − 2x + 4y − 20 = 0 , c2 : x 2 + y2 + x − 2y − 20 = 0 και το κέντρο του ανήκει στην ευθεία ε : 3x + 2y + 1 = 0 .

Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και εφάπτε- ται στην ευθεία ε : 3x − 4y + 20 = 0 .

Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σημείο Α(2 ,1) και εφάπτεται στην ευθεία ε : y = x στην αρχή των αξόνων.

Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ, όπου Α(1,− 1) , Β(3 ,1) , Γ(−1, 3) .

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται των ημιαξόνων Οx, Oy και της ευ- θείας ε : 3x + 4y − 12 = 0 .