ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-50 επαναληπτικές ασκήσεις

Να λυθούν οι εξισώσεις: x 2 + 7x 2x − 1 3 α) ( ) ( ) x 2 − 4 (x − 1) = x 2 − 1 (x − 2) . β) 2 − 2 x −1 = x +1 + 1− x . γ) x 2 (x − 4) + 2x (x − 4) + (x − 4) = 0 . ( ) δ) x x 2 − 1 − x 3 + x 2 = 0 . (x + 1) + x − 1 = 0 . στ) x (x − 2) + x − 4x + 4 = 0 . 2 2 2 2 ε) ζ) (x − 4)(x + 1) = (x − 1)(x − 2) . η) x −x 1 = x x− 4 . 2 2 2 x 1 x +1 2 θ) = . ι) + 2 = 0. x −1 −x + x 2 2 x −1 x − 2x + 1

Να βρείτε το λ ∈ ! , ώστε η εξίσωση λ (λx − 1) = x (4λ − 4) − λ2 να είναι: α) αδύνατη. β) ταυτότητα.

Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ ! , ώστε η εξίσωση λ2x − λ2 + 4 = (4λ − 4) x να είναι ταυ- τότητα.

Δίνεται η εξίσωση λ2x + 2λ + λ2 + 4x = 0 . α) Να γραφεί στην γενικευμένη μορφή εξίσωσης 1ου βαθμού. β) Να λυθεί η εξίσωση, για τις διάφορες τιμές του λ. γ) Να βρείτε το λ, ώστε η εξίσωση να έχει λύση το 2.

2 4x + 1 Να λυθεί, για τις διάφορες τιμές του λ ∈ ! , η εξίσωση x − 3 = . λ λ2

Αν ο x = 2 είναι λύση της εξίσωσης αx − 3 = 11 , να βρείτε τον αριθμό α.

Να λυθούν οι εξισώσεις: x −1 3 x −2 α) 1 − = −x . β) x + 1 + 1 − x 2 = 0 . 7 5

Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x − 2 = 2x − 1 . β) x − 2 = 2x − 1 . (x + 2) − x + 2 + 41 = 0 . δ) x − 3x + 3 x − 1 = 0 . 2 3 2 γ)

Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 3 4x − 4 = 3 . β) 7x − 3 = −2 . γ) 2x − 5 = 5 − 2x . δ) x − 2 = 2 . ε) x − 3 = 2x . στ) 3x − 4 = 3x − 4 .

Να λύσετε τις εξισώσεις: x −1 −3 2 − 2x 1 x −1 α) − = − . 2 6 2 6 2x − 1 − 1 6x − 3 − 2 β) 1 − = 1 − 2x − . 4 8

3 5 Δίνεται η παράσταση Α = + . 5 − 3 5 + 3 Να δείξετε ότι Α = 4 και να λύσετε την εξίσωση x + A = 1 .

Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x −1 + 2 = 1 . β) x 2 − 9 + x 2 − 5x + 6 = 0 . γ) x − 2 = 2 x + 1 . δ) x + 1 + x − 5 = 20 .

Να λύσετε τις ακόλουθες εξισώσεις για τις διάφορες τιμές του λ ∈ ! : α) (λ − 1) x = λ . β) λx + 1 = x + λ . γ) (λ − 1) x = λ − 1 . 2 δ) λ2 (x − 3) = λx − 3 . ε) λ2x + 1 = λ (x + 1) . στ) λ2x + 3 = 3x + λ .

Δίνεται η εξίσωση (α + 3) x = α 2 − 9 , με παράμετρο α ∈ ! . Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η εξίσωση έχει μοναδική λύση και να προσδι- ορίσετε την λύση αυτή.

Δίνεται η εξίσωση λx = x + λ2 − 1 , με παράμετρο λ ∈ ! . α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα (λ − 1) x = (λ − 1)(λ + 1) , λ ∈ ! . β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία

Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x 2 − ( 3 − 2 ) x − 6 = 0 . β) αβx − (α − β) x − 1 = 0 , αβ ≠ 0 . 2

( ) Δίνεται η εξίσωση x 2 − λ3 − 28 x − 1 = 0 (1) α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες, για κάθε λ∈!. β) Να βρείτε το λ, ώστε οι ρίζες της (1) να είναι αντίθετες. γ) Ποιες είναι οι δύο αυτές αντίθετες ρίζες;

Αν x1 , x 2 είναι ρίζες της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0 , να σχηματίσετε μία άλλη εξίσωση η οποία να δέχεται ως ρίζες τους αριθμούς κx1 , κx 2 , όπου κ ακέραιος αριθμός.

Να λύσετε τις εξισώσεις: 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ α) ⎜⎜⎜2x + ⎟⎟⎟ − 3 ⎜⎜⎜2x + ⎟⎟⎟ − 4 = 0 . (2x − 1) − 21 − x − 21 = 0 . 2 β) ⎝ x ⎠⎟ ⎝ x ⎠⎟ 2x − 1 x −2 5 γ) (x − 2) + x 2 − 4x + 4 = 3 . 2 δ) + − =0. x −2 2x − 1 2

Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις ως προς x, για κάθε τιμή των παραμέτρων τους: α) αβx 2 − (αγ + β) x + γ = 0 , αβ ≠ 0 . β) β2x 2 − 2αβ2x + α 2β2 − 1 = 0 , β ≠ 0 .

Αν η εξίσωση x 2 − 2x − 2 (αβ − 1) = 0 έχει ως ρίζα τον αριθμό α + β , να αποδείξετε ότι α = β = 1.

Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ ! , ώστε η εξίσωση (λ − 3λ + 2) x + 2(λ − 2) x + 1 = 0 2 2 να έχει δύο ρίζες πραγματικές.

( ) Να βρεθεί ο λ ∈ ! , ώστε η εξίσωση λ2 − 3λ + 2 x 2 + (λ − 2) x + 3 = 0 : α) να έχει μία μόνο ρίζα. β) να έχει διπλή ρίζα.

Έστω η εξίσωση λx 2 + x + 5 = 0 , λ ∈ ! . α) Για ποιες τιμές του λ έχει μία μόνο ρίζα; β) Για ποιες τιμές του λ έχει διπλή ρίζα; (x − ρ) , 2 γ) Αν ρ είναι η διπλή ρίζα της εξίσωσης, να υπολογίσετε την παράσταση για κάθε πραγματικό αριθμό x.