Άσκηση 220

Βοηθητική μεταγραφή

Πρόσεξέ την πάρα πολύ! 1+ x ℓ = ℓ im . x→ 0 3x 2 + 5 x Εδώ θα δεις για άλλη μία φορά κάτι που ήδη επισημάνθηκε στην θεωρία. Στο όριο υπάρχει μια «τρικλοποδιά»: γράφοντας x → 0 , να μην ξεχνάς ότι σημαίνει x → 0+ και x → 0− . Το δεύτερο όμως εδώ δεν είναι σωστό, διότι x → 0− σημαίνει x < 0 , κάτι που φυσικά δεν επιτρέπεται σε τετραγωνική ρίζα. Έτσι, πρέπει το όριο να ξαναγραφεί, αλλά με το σωστό x, που είναι x → 0+ . 1+ x Είναι ℓ = ℓ im . x→ 0+ 3x 2 + 5 x Θέτω x = y . Τότε είναι x = y2 ⇒ x 2 = y4 . Πρόσεξε πολύ και την αλλαγή μεταβλητής σε πλευρικό όριο που ακολουθεί! Όταν x → 0+ , τότε x > 0 ⇔ x > 0 ⇔ y > 0 , δηλαδή y → 0+ . Άρα 1 1+ y 0 1+ y ⎛ 1 + y 1 ⎞⎟ 1+ 0 ℓ = ℓ im+ = ℓ im = ℓ im ⎜⎜ ⋅ ⎟⎟ = ⋅ (+∞) = +⎜ y→ 0 ⎜⎝ 3y + 5 y ⎟⎠ 3 ⋅ 0 + 5 4 3 3 3 y→ 0 3y + 5y y→ 0 y(3y + 5) + 1 = ⋅ (+∞) ⇒ ℓ = +∞ . 5 1 Δεν χρειάζεται εξήγηση ότι ℓ im = +∞ , διότι είναι γνωστό από την θεωρία. y→ 0+ y - 331 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 1 • Ό ρ ι ο -συνέχε ι α συνά ρτησης 3η ΕΝΟΤΗΤΑ. “Υπολογιστικά” θέµατα ορίων: η απροσδιοριστία “αριθµός διά 0”

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Εκφώνηση