Άσκηση ολοκληρωμάτων 149

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 149 από «Ε2(Θ5)+Κ6(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫−1 x 2 + 2x − 5 dx . Από την ευκλείδεια διαίρεση (x 3 + 2x 2 − x + 4) : (x 2 + 2x − 5) έχω x 3 + 2x 2 − x + 4 4x + 4 x 3 + 2x 2 − x + 4 = x(x 2 + 2x − 5) + 4x + 4 ⇔ 2 = x+ 2 , x + 2x − 5 x + 2x − 5 οπότε είναι 1 1 1 1 1 ⎛ ⎞ ⎡ x2 ⎤ ⎜⎜x + 4x + 4 ⎟⎟ dx = 4x + 4 2(2x + 2) Ι= ∫−1 ⎜⎝ ⎟ x 2 + 2x − 5 ⎠⎟ ∫ x dx + ∫ −1 −1 x 2 + 2x − 5 dx = ⎢ ⎥ + ⎢2⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ −1 ∫ x + 2x − 5 dx = −1 2 1 1 12 (−1)2 1 1 = 2 − 2 +2⋅ ∫ −1 2 x + 2x − 5 ⋅ (2x + 2) dx = 2 ⋅ ∫−1 2 x + 2x − 5 ⋅ (x 2 + 2x − 5)′ dx = - 222 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 1 1 1 = 2⋅ ∫ −1 x 2 + 2x − 5 d(x 2 + 2x − 5) = 2 ⋅ ⎡ ℓn x 2 + 2x − 5 ⎤ = ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ −1 2 1 ( = 2 ⋅ ℓn 12 + 2 ⋅1 − 5 − ℓn (−1)2 + 2 ⋅ (−1) − 5 = 2(ℓn2 − ℓn6) = 2ℓn ) 6 = 2ℓn = 3 = 2(ℓn1 − ℓn3) ⇒ Ι = −2ℓn3 . 1 x −3

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα