Άσκηση ολοκληρωμάτων 148

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 148 από «Ε2(Θ5)+Κ6(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ 3 x2 − x − 2 dx . Από την ευκλείδεια διαίρεση x 3 : (x 2 − x − 2) έχω x3 3x + 2 x 3 = (x + 1)(x 2 − x − 2) + 3x + 2 ⇔ 2 = x +1+ 2 , x − x −2 x − x −2 άρα 4 4 4 ⎛ ⎞ ⎜⎜x + 1 + 3x + 2 ⎟⎟ dx = 3x + 2 Ι= ∫ 3 ⎜⎝ ⎟ x 2 − x − 2 ⎟⎠ ∫ 3 (x + 1) dx + ∫ 3 x2 − x − 2 dx ⇒ Ι = Ι1 + Ι2 (1) 4 4 ⎡ x2 ⎤ 42 ⎛ 32 ⎞ 9 9 9 + 4 − ⎜⎜⎜ + 3⎟⎟⎟ = 12 − − 3 = 9 − ⇒ Ι1 = • Ι1 = 3 ∫ (x + 1) dx = ⎢⎢ + x ⎥⎥ = ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 3 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2 2 2 . 4 3x + 2 • Ι2 = ∫ 3 (x − 2)(x + 1) dx . Είναι 3x + 2 α β = + , όπου α , β ∈ ! . (x − 2)(x + 1) x −2 x +1 Με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 3x + 2 = α(x + 1) + β(x − 2) ⇔ 3x + 2 = αx + α + βx − 2β ⇔ ⇔ (α + β)x + (α − 2β) = 3x + 2 , ⎧⎪ α + β = 3 ⎫⎪ οπότε ισχύουν ⎪⎨ ⎪ , από όπου προκύπτει α = 8 , β = 1 . ⎬ ⎪⎪ α − 2β = 2 ⎪⎪ 3 3 ⎩ ⎭ Άρα είναι - 221 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα ⎛ 8 1 ⎞⎟ ⎜⎜ 4 ⎟⎟ 4 4 ⎜⎜ 3 ⎟ 8 1 1 1 Ι2 = ∫ 3 ⎜ ⎜⎜ ⎜ x −2 + 3 ⎟⎟ dx = ⋅ x…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα