Άσκηση ολοκληρωμάτων 147

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 147 από «Ε2(Θ5)+Κ6(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ −1 x 2 − 3x + 2 dx . Από την ευκλείδεια διαίρεση (x 2 + 1) : (x 2 − 3x + 2) έχω x2 + 1 3x − 1 x 2 + 1 = 1 ⋅ (x 2 − 3x + 2) + 3x − 1 ⇔ 2 = 1+ 2 , x − 3x + 2 x − 3x + 2 άρα είναι 0 0 0 ⎛ 3x − 1 ⎞⎟ 3x − 1 Ι= ∫ −1 ⎜⎜1 + ⎜⎝ ⎟⎟ dx = x 2 − 3x + 2 ⎟⎠ ∫ −1 1dx + ∫ −1 2 x − 3x + 2 dx = 1 ⋅ ⎡⎢0 − (−1)⎤⎥ + Ι1 ⇒ ⎣ ⎦ ⇒ Ι = 1 + Ι1 (1) , όπου 0 0 3x − 1 3x − 1 Ι1 = ∫−1 2 x − 3x + 2 dx = ∫−1 (x − 1)(x − 2) dx . Είναι 3x − 1 α β = + , όπου α , β ∈ ! . (x − 1)(x − 2) x −1 x −2 Με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 3x − 1 = α(x − 2) + β(x − 1) ⇔ 3x − 1 = αx − 2α + βx − β ⇔ ⇔ (α + β)x + (−2α − β) = 3x − 1 , ⎧⎪ α + β = 3 ⎫⎪ οπότε ισχύουν ⎪⎨ ⎪ , από όπου εύκολα προκύπτει α = −2 , β = 5 . ⎬ ⎪⎪ −2α − β = −1 ⎪⎪ ⎩ ⎭ Άρα είναι 0 0 0 ⎛ −2 5 ⎞⎟ 1 1 Ι1 = ∫ −1 ⎜⎜ ⎜⎝ x − 1 + ⎟⎟ dx = 5 ⋅ x − 2 ⎠⎟ ∫ −1 x −2 dx − 2 ⋅ ∫ x − 1 dx = −1 0 0 1 1 = 5⋅ ∫−1 x −2 ⋅ (x − 2)′ dx − 2 ⋅ ∫ −1 x −1 ⋅ (x − 1)′ dx = 0 0 1 1 0 0 = 5⋅ ∫−1 x −2 d(x − 2) − 2 ⋅ ∫ −1 x −1 d(x − 1) = 5 ⋅ ⎡⎢ ℓn x − 2 ⎤⎥ − 2 ⋅ ⎡⎢ ℓn x − 1 ⎤⎥ = ⎣ ⎦ −1 ⎣ ⎦ −1 - 220 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγ…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα