Άσκηση ολοκληρωμάτων 146

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 146 από «Ε2(Θ5)+Κ6(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫0 x2 − 4 dx . Από την ευκλείδεια διαίρεση (x 3 − 2x + 3) : (x 2 − 4) έχω ότι 3 2 x 3 − 2x + 3 2x + 3 x − 2x + 3 = x(x − 4) + 2x + 3 ⇔ 2 = x+ 2 , x −4 x −4 οπότε είναι 1 1 1 1 1 ⎛ ⎞ ⎡ x2 ⎤ ⎜⎜x + 2x + 3 ⎟⎟ dx = 2x + 3 2x + 3 Ι= ∫0 ⎜⎝ ⎟ x 2 − 4 ⎟⎠ ∫ x dx + ∫ 0 0 x2 − 4 dx = ⎢⎢ ⎥⎥ + ⎣⎢ 2 ⎦⎥ 0 ∫ (x − 2)(x + 2) dx = 0 1 12 02 1 2x + 3 = 2 − 2 + Ι1 ⇒ Ι = + Ι1 2 (1) , όπου Ι1 = ∫ (x − 2)(x + 2) dx . 0 Είναι 2x + 3 α β = + , όπου α , β ∈ ! . (x − 2)(x + 2) x −2 x+2 - 218 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 2x + 3 = α(x + 2) + β(x − 2) ⇔ 2x + 3 = αx + 2α + βx − 2β ⇔ ⇔ (α + β)x + (2α − 2β) = 2x + 3 , ⎧⎪ α + β = 2 ⎫⎪ οπότε ισχύουν ⎪⎨ ⎪ , από όπου εύκολα προκύπτει α = 7 , β = 1 . ⎬ ⎪⎪ 2α − 2β = 3 ⎪⎪ 4 4 ⎩ ⎭ Άρα είναι ⎛ 7 1 ⎞⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ 1 1 ⎜⎜ 4 ⎟ 7 1 1 1 Ι1 = ∫ 0 ⎜ ⎜⎜ ⎜ x −2 + 4 x + 2 ⎟⎟⎟ ⎟⎟ dx = ⋅ 4 ∫ x −2 dx + ⋅ 4 x+2 dx = ∫ ⎝⎜ ⎟⎠…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα