Άσκηση ολοκληρωμάτων 144

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 144 από «Ε2(Θ5)+Κ6(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ 0 x 2 + 3x + 2 dx . Από την ευκλείδεια διαίρεση (x 3 − 2x) : (x 2 + 3x + 2) έχω ότι x 3 − 2x 5x + 6 x 3 − 2x = (x 2 + 3x + 2)(x − 3) + 5x + 6 ⇔ 2 = x −3 + 2 , x + 3x + 2 x + 3x + 2 οπότε είναι 1 1 1 ⎛ ⎞ ⎜⎜x − 3 + 5x + 6 ⎟⎟ dx = 5x + 6 Ι= ∫ 0 ⎜⎝ ⎟ x 2 + 3x + 2 ⎟⎠ ∫ (x − 3) dx + ∫ x + 3x + 2 dx ⇒ Ι = Ι + Ι 0 0 2 1 2 (1) 1 1 ⎡ x2 ⎤ 12 ⎛ 02 ⎞ 1 5 − 3 ⋅1 − ⎜⎜⎜ − 3 ⋅ 0⎟⎟⎟ = − 3 ⇒ Ι1 = − • Ι1 = 0 ∫ (x − 3) dx = ⎢⎢ − 3x ⎥⎥ = ⎢ ⎣ 2 ⎥ ⎦0 2 ⎜ ⎝ 2 ⎟⎠ 2 2 . 1 1 5x + 6 5x + 6 • Ι2 = ∫ 0 2 x + 3x + 2 dx = ∫ (x + 1)(x + 2) dx . 0 Είναι - 216 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα 5x + 6 α β = + , όπου α , β ∈ ! . (x + 1)(x + 2) x +1 x+2 Με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 5x + 6 = α(x + 2) + β(x + 1) ⇔ 5x + 6 = αx + 2α + βx + β ⇔ ⇔ (α + β)x + (2α + β) = 5x + 6 , ⎧⎪ α + β = 5 ⎫⎪ οπότε ισχύουν ⎪⎨ ⎪ , από όπου εύκολα προκύπτει α = 1 , β = 4 . ⎬ ⎪⎪ 2α + β = 6 ⎪⎪ ⎩ ⎭ Άρα είναι…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα