Άσκηση ολοκληρωμάτων 143

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 143 από «Ε2(Θ5)+Κ6(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ 2 x2 − x dx . Από την ευκλείδεια διαίρεση (x 3 + x 2 − 2x − 1) : (x 2 − x) έχω ότι x 3 + x 2 − 2x − 1 1 x 3 + x 2 − 2x − 1 = (x + 2)(x 2 − x) + (−1) ⇔ 2 = x +2− 2 , x −x x −x οπότε είναι 3 3 3 ⎛ ⎞ ⎜⎜x + 2 − 1 ⎟⎟ dx = 1 Ι= ∫ 2 ⎜⎝ ⎟ x 2 − x ⎠⎟ ∫ (x + 2) dx − ∫ x − x dx ⇒ Ι = Ι − 2 ⋅ Ι 2 2 2 1 2 (1) 3 3 ⎡ x2 ⎤ 32 ⎛ 22 ⎞ ⎜⎜ + 2 ⋅ 2⎟⎟ = 9 + 6 − 6 ⇒ Ι = 9 . Ι • 1 = 2 (x ∫ + 2) dx = ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣ + 2x ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 2 = 2 + 2 ⋅ 3 − ⎜⎜ 2 ⎝ ⎟⎟ ⎠ 2 1 2 3 3 1 1 • Ι2 = ∫ 2 2 x −x dx = ∫ x(x − 1) dx . 2 Είναι 1 α β = + , όπου α , β ∈ ! . x(x − 1) x x −1 Με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 1 = α(x − 1) + βx ⇔ 1 = αx − α + βx ⇔ (α + β)x − α = 1 , - 215 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα ⎧⎪ α + β = 0 ⎫⎪ οπότε ισχύουν ⎪⎨ ⎪⎬ , από όπου εύκολα προκύπτει α = −1 , β = 1 . ⎪⎪ −α = 1 ⎪⎪ ⎩ ⎭ Άρα είναι 3 3 3 3 ⎛ −1 1 ⎞⎟ 1 1 1 ∫ ∫ ∫ ∫ 3 Ι2 = ⎜⎜ + ⎟⎟ dx = dx − dx = ⋅ (x − 1)′ dx − ⎡⎢ ℓnx ⎤⎥…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα