Άσκηση ολοκληρωμάτων 142

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 142 από «Ε2(Θ5)+Κ6(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ 0 x 2 + 4x + 3 dx . Από την ευκλείδεια διαίρεση (x 2 − 2x + 1) : (x 2 + 4x + 3) έχω ότι x 2 − 2x + 1 −6x − 2 x 2 − 2x + 1 = 1 ⋅ (x 2 + 4x + 3) + (−6x − 2) ⇔ 2 = 1+ 2 , x + 4x + 3 x + 4x + 3 οπότε 1 1 1 1 ⎛ ⎞ ⎜⎜1 + −6x − 2 ⎟⎟ dx = −6x − 2 −2(3x + 1) Ι= ∫ 0 ⎜⎝ ⎟ x 2 + 4x + 3 ⎟⎠ ∫ 0 1dx + ∫0 2 x + 4x + 3 dx = 1 ⋅ (1 − 0) + ∫ 0 x 2 + 4x + 3 dx = 1 3x + 1 = 1−2⋅ ∫0 2 x + 4x + 3 dx ⇒ Ι = 1 − 2 ⋅ Ι1 (1) Είναι 1 1 3x + 1 3x + 1 Ι1 = ∫ 0 2 x + 4x + 3 dx = ∫ 0 (x + 1)(x + 3) dx . Είναι 3x + 1 α β = + , όπου α , β ∈ ! . (x + 1)(x + 3) x +1 x+3 Με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 3x + 1 = α(x + 3) + β(x + 1) ⇔ 3x + 1 = αx + 3α + βx + β ⇔ ⇔ (α + β)x + (3α + β) = 3x + 1 , ⎧⎪ α + β = 3 ⎫⎪ οπότε ισχύουν ⎪⎨ ⎪ , από όπου εύκολα προκύπτει α = −1 , β = 4 . ⎬ ⎪⎪ 3α + β = 1 ⎪⎪ ⎩ ⎭ Άρα είναι 1 1 1 ⎛ −1 4 ⎞⎟ 1 1 Ι1 = ∫ 0 ⎜⎜ ⎜⎝ x + 1 + ⎟⎟ dx = 4 ⋅ x + 3 ⎟⎠ ∫ 0 x+3 dx − ∫0 x +1 dx = 1 1 1 1 = 4⋅ ∫ 0 x+3 ⋅ (x + 3)′ dx − ∫ x + 1 ⋅ (x + 1)′ dx = 0 - 214 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα