Άσκηση ολοκληρωμάτων 140

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 140 από «Ε2(Θ5)+Κ6(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫0 x2 − 4 dx . Από την ευκλείδεια διαίρεση x 2 : (x 2 − 4) έχω ότι 2 x2 2 4 x = 1 ⋅ (x − 4) + 4 ⇔ 2 = 1+ 2 , x −4 x −4 οπότε είναι 1 1 1 ⎛ ⎞ ⎜⎜1 + 4 ⎟⎟ dx = 1 Ι= ∫ 0 ⎜⎝ ⎟ x 2 − 4 ⎠⎟ ∫ 1dx + 4 ⋅ ∫ x − 4 dx = 1 ⋅ (1 − 0) + 4 ⋅ Ι ⇒ Ι = 1 + 4 ⋅ Ι 0 0 2 1 (1) Είναι 1 1 1 1 Ι1 = ∫ 0 2 x −4 dx = ∫ (x − 1)(x + 2) dx . 0 Είναι 1 α β = + , όπου α , β ∈ ! . (x − 2)(x + 2) x −2 x+2 Με απαλοιφή των παρονομαστών, έχω 1 = α(x + 2) + β(x − 2) ⇔ 1 = αx + 2α + βx − 2β ⇔ (α + β)x + (2α − 2β) = 1 , ⎧⎪ α + β = 0 ⎫⎪ οπότε ισχύουν ⎪⎨ ⎪ , από όπου προκύπτει α = 1 , β = − 1 . ⎬ ⎪⎪ 2α − 2β = 1 ⎪⎪ 4 4 ⎩ ⎭ Άρα είναι ⎛ 1 1 ⎞⎟ ⎜⎜1 ⎟⎟ 1 1 ⎜⎜ 4 ⎟ 1 1 1 1 Ι1 = ∫ 0 ⎜ ⎜⎜ ⎜ x −2 − 4 x + 2 ⎟⎟⎟ ⎟⎟ dx = ⋅ 4 x −2 dx − ⋅ 4 x+2 ∫ dx = ∫ ⎝⎜ ⎟⎠ 0 0 1 1 1 1 1 1 = ⋅ 4 ∫ 0 x −2 ⋅ (x − 2)′ dx − ⋅ 4 ∫ x + 2 ⋅ (x + 2)′ dx = 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∫ ∫ 1 = ⋅ d(x − 2) − ⋅ d(x + 2) = ⋅ ⎡⎢ ℓn x − 2 ⎤⎥ − ⋅ ⎡⎢ ℓn(x + 2)⎤⎥ = 4 x −2 4 x+2 4 ⎣ ⎦0 4 ⎣ ⎦0 0 0 1 1 = 4 ( ) ⋅ ℓn 1 − 2 − ℓn 0 − 2 − ⋅ ⎡⎢ ℓn(1 + 2) − ℓn(0 + 2)⎤⎥ = 4 ⎣ ⎦ - 212 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθημα…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα