Άσκηση ολοκληρωμάτων 139

Βοηθητική μεταγραφή

Άσκηση ολοκληρωμάτων 139 από «Ε2(Θ5)+Κ6(Α)-εξώφυλλο». Λυμένο περιεχόμενο στην ίδια σάρωση. Βοηθητική αυτόματη μεταγραφή, με πιθανές αποκλίσεις σε τύπους και σύμβολα: ∫ x + 1 dx . 0 Από την ευκλείδεια διαίρεση (x − 1) : (x + 1) έχω ότι x −1 2 x − 1 = 1 ⋅ (x + 1) − 2 ⇔ = 1− , x +1 x +1 οπότε είναι 1 1 1 1 ⎛ ⎞ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ dx = 1 1 Ι= ∫ 0 ⎜⎝ ⎟ x + 1⎠⎟ ∫ 1dx − 2 ⋅ ∫ 0 0 x +1 dx = 1 ⋅ (1 − 0) − 2 ⋅ ∫ x + 1 ⋅ (x + 1)′ dx = 0 1 1 ∫ 1 = 1−2⋅ d(x + 1) = 1 − 2 ⋅ ⎡⎢ ℓn(x + 1)⎤⎥ = 1 − 2 ⋅ ⎡⎢ ℓn(1 + 1) − ℓn(0 + 1)⎤⎥ ⇒ x +1 ⎣ ⎦0 ⎣ ⎦ 0 ⇒ Ι = 1 − 2ℓn2 . Δεύτερος τρόπος Σαν «απλό» ολοκλήρωμα 1 1 1 1 x −1 x + 1−2 ⎛ x +1 2 ⎞⎟ ⎛ ⎞ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ dx = Ι= ∫ 0 x +1 dx = ∫0 x +1 dx = ∫0 ⎜⎜ ⎜⎝ x + 1 − ⎟⎟ dx = x + 1 ⎟⎠ ∫ 0 ⎜⎝ ⎟ x + 1 ⎟⎠ 1 1 1 1 1 = ∫0 1dx − 2 ⋅ ∫0 x +1 dx = 1 ⋅ (1 − 0) − 2 ⋅ ∫0 x +1 ⋅ (x + 1)′ dx = 1 1 ∫ 1 = 1−2⋅ d(x + 1) = 1 − 2 ⋅ ⎡⎢ ℓn(x + 1)⎤⎥ = 1 − 2 ⋅ ⎡⎢ ℓn(1 + 1) − ℓn(0 + 1)⎤⎥ ⇒ x +1 ⎣ ⎦0 ⎣ ⎦ 0 ⇒ Ι = 1 − 2ℓn2 . Ο δεύτερος τρόπος απαιτούσε περισσότερη φαντασία, γι’ αυτό θα σύστηνα να κρατή- σεις τον πρώτο. - 211 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr Μαθη ματ ι κά Γ΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Ολοκ ληρ ωτι κό ς Λ ογ ι σμ ός 2η ΕΝΟΤΗΤΑ. Πώς θα υπολογίσεις έ…

Η αυτόματη μεταγραφή είναι βοηθητική και μπορεί να μην αποδίδει με ακρίβεια όλους τους μαθηματικούς τύπους και τα σύμβολα. Η σάρωση παραμένει η πηγή αναφοράς.

Λυμένο παράδειγμα